Два вопроса по матрице плотности

[Enceladoglu]

Взял я значит другую книгу. Сразу решил открыть главу по квантовой стат. механике, где почти сразу вводиться матрица плотности как
$\rho_{mn} = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^N a_m^k(t) \overline{a_n^k(t)}$
Тут $N$ - кол-во систем в ансамбле
$a_n^k(t)$ - это коэффициенты разложение по системе ортонорм. ф-й:
$\psi^k (t) = \sum_n a_n^k(t)\psi_n$
$\psi^k$ - это волновая функция $k$-ой системы ансамбля.
Тоесть $a_n^k(t)$ - вероятность того что $k$-я система ансамбля находиться с состоянии $n$
Таким образом, матрица плотности $\rho_{mn}$ это среднее по ансамблю значение величины $a_m^k(t) \overline{a_n^k(t)}$

1) Из определения матрицы плотности, а так же из определения среднего значения какой- то величины по анамблю
$<G> = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^N \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$ (отсюда потом выводиться формула $<G> = \operatorname{Tr}( \hat{\rho} \hat{G})$)
Следует, что само собой разумеется, что появление каждой системы в ансамбле равновероятно (основной постулат стат. механики)
Я почему-то всегда думал что постулат равной вероятности только для микроканонического распределения. На самом деле он верный для любого ансамбля - в т.ч. канонического и большого канонического ?

2)Тут вопрос такой
"В любом другом представлении кроме энергетического, матрица плотности может быть и не диагональной . Однако, в общем случае, она будет симметричной:
$\rho_{mn} = \rho_{nm}$
Физическая причина этой симметрии заключается в том, что в статистическом равновесии тенденция физической системы переходить из одного состояния (в новом представлении) в другое должна быть уравновешена столь же сильной тенденцией переключаться между теми же состояниями в обратном направлении. Это условие детального баланса необходимо для поддержания равновесного распределения внутри ансамбля."
То что она эрмитова это понятно. Как можно доказать что в тепловом равновесии матрица плотности симметрична ?

[Anton_Peplov]

Enceladoglu в сообщении #1688147 писал(а):

Взял я значит другую книгу.

Когда вопрос возник после чтения книги, полезно указывать книгу.

[Enceladoglu]

Anton_Peplov
Partia, Beale, Statistical Mechanics.
Параграф 5.1

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1688147 писал(а):

На самом деле он верный для любого ансамбля - в т.ч. канонического и большого канонического ?

Нет не верно. Для канонического ансамбля вероятности - больцмановские... Большой канонический реально рассматривать в полевой теории-там меняется количество части меременно, и таким методом можно наверное что то и записать, да только надо пространство Фока использовать...не думаю что это удачное решение.

[Enceladoglu]

pppppppo_98 в сообщении #1688191 писал(а):

Для канонического ансамбля вероятности - больцмановские...

Вот и я так думал. Но теперь я прочёл, и мне кажется что больцмановская вероятность - это вероятность обнаружить систему из ансамбля с конкретной энергией. Систем с такой энергией в ансамбле много. А найти систему из ансамбля в любом микросостоянии (в любой волновой функции) можно с одной и той же вероятностью.
Просто если это не так то среднее нужно считать по ансамблю в случае канонического уже не так как а этой формуле, а она как я понял общая для всех ансамблей

[iwndr]

Enceladoglu в сообщении #1688196 писал(а):

Но теперь я прочёл, и мне кажется что больцмановская вероятность - это вероятность обнаружить систему из ансамбля с конкретной энергией

Нет, ибо, как вы правильно замечаете дальше, "систем с такой энергией в ансамбле много". Если задача установить вероятность конкретной энергии микросостояний, то нужно учитывать степень вырождения. Если же речь идет о вероятности энергии макросостояния, то ее выражают через Больцмановскую вероятность, где вместо внутренней энергии надо считать свободную энергию Гельмгольца. Больцмановская вероятность в каноническом ансамбле это именно что вероятность микросостояний.

[Enceladoglu]

pppppppo_98,iwndr

Хорошо, но тогда получается что формула для среднего по ансамблю не верна ? Если уже вероятность реализации каждого ансамбля не одна и та же

Enceladoglu в сообщении #1688147 писал(а):

среднего значения какой- то величины по анамблю
$<G> = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^N \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$

[iwndr]

Enceladoglu в сообщении #1688384 писал(а):

Хорошо, но тогда получается что формула для среднего по ансамблю не верна ?

Почему не верна? Каждому ансамблю соответствует своя матрица плотности, и среднее по ансамблю будет другим, если система конечна. Но в термодинамическом пределе все средние стремятся к одному и тому же значению.

[Enceladoglu]

iwndr
Просто если каждая система ансамбля реализуется с разной вероятностью, то тогда среднее должно наверное вычислятся как то так
$<G> = \sum\limits_{k=1}^N w_i \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$

[iwndr]

Enceladoglu в сообщении #1688423 писал(а):

среднее должно наверное вычислятся как то так
$<G> = \sum\limits_{k=1}^N w_i \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$

Сумма $\sum_k^N$ проходит по всем системам ансамбля, вне зависимости от вероятности. Поэтому нет никакой необходимости вводить весы.

[chislo_avogadro]

iwndr в сообщении #1688453 писал(а):

Enceladoglu в сообщении #1688423 писал(а):

среднее должно наверное вычислятся как то так
$<G> = \sum\limits_{k=1}^N w_i \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$

Сумма $\sum_k^N$ проходит по всем системам ансамбля, вне зависимости от вероятности. Поэтому нет никакой необходимости вводить весы.

Непонятно, как получить среднее, не задав весов состояний в смеси.

[Enceladoglu]

chislo_avogadro в сообщении #1688468 писал(а):

Непонятно, как получить среднее, не задав весов состояний в смеси.

Во, и я о том же
Так что либо каждая система ансамбля равновероятна, ну или эта формула не верна

[Cos(x-pi/2)]

Enceladoglu
Попробую пояснить, как я это понимаю (и, по-видимому, iwndr примерно о том же говорил), на совершенно элементарном примере, даже не из статистической механики, а из обычной практики измерения чего-нибудь флуктуирующего. Например, пусть мы измеряем цифровым вольтметром напряжение (обозначу его $G)$ на клеммах какого-то источника "постоянного напряжения". Вольтметр показывает, допустим, разрядов пять; а источник не идеальный - его "постоянное" напряжение пусть гуляет туда-сюда в последних разрядах, так что в показаниях вольтметра это видно. Как мы на практике получаем усреднённый результат измерения?

Записываем много-много раз, $N\gg 1,$ показания вольтметра (номер записи указываю как верхний индекс): $G^1,$ $G^2,$ ..., $G^N.$ Среди всех этих показаний $G^k$ могут помногу раз попадаться одинаковые; ну и пусть, мы записываем все результаты подряд, так что в этом списке каждое показание присутствует столько раз, сколько раз оно обнаруживалось. И затем подсчитываем среднее арифметическое значение:

$$\langle G \rangle = \frac{1}{N}\,(G^1+G^2+...+G^N)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N G^k\,.$$

Это эквивалентно вот такой воображаемой картине: как будто $N$ лаборантов взяли $N$ одинаково устроенных вольтметров и одинаково же устроенных (но не идеальных) источников напряжения, и за один присест получили те самые $N$ результатов $G^1,$ $G^2,$ ..., $G^N.$ И затем подсчитали среднее арифметическое. Ни о каких вероятностях здесь речи нет. Вот такого рода воображаемая процедура, как мне думается, и называется измерением среднего значения $\langle G \rangle$ по ансамблю.

В этом же примере можем перейти "на язык вероятностей". Допустим, среди всех $N\gg 1$ результатов измерений результат $G_1$ встречается $n_1$ раз, результат $G_2$ встречается $n_2$ раз, и т.д. (индекс, нумерующий различные значения $G,$ пишу снизу; среди чисел $n_r$ могут быть и равные нулю - если соответствующие им значения $G_r$ вообще не обнаруживаются). Тогда то же самое среднее арифметическое можно переписать так:

$$\langle G \rangle = \frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N G^k=\frac{1}{N}\,\sum_r n_r\,G_r=\sum_r w_r\,G_r\,,$$

где $w_r=\dfrac{n_r}{N}$ есть экспериментальная оценка для вероятности значения $G_r\,.$

Аналогичная ситуация подразумевается и в текстах по статистической механике, которые Вы разбираете. Да, $\psi^k$ - это волновая функция $k$-ой системы ансамбля, состоящего из $N$ одинаково устроенных (т.е. имеющих одинаковые гамильтонианы) систем. В таком ансамбле все эти волновые функции не обязаны быть различными, среди функций $\psi^k$ могут быть одинаковые. При желании можно ввести вероятностные веса для различающихся волновых функций в ансамбле. Однако средние величины по ансамблю это просто средние арифметические, т.е. под знаками сумм (делённых на $N)$ по $k=1,\,2,\,...,\,N,$ где $N$ есть число экземпляров системы в ансамбле, никаких весов писать не надо.

[Enceladoglu]

Cos(x-pi/2)
Спасибо, поразмыслю над этим.
Пока что не понял про

Cos(x-pi/2) в сообщении #1688557 писал(а):

В таком ансамбле все эти волновые функции не обязаны быть различными, среди функций $\psi^k$ могут быть одинаковые.

Тоесть в чем причина держать в ансамбля одинаковые волновые функции? Возможно это связано с тем что я не совсем понимаю что вообще такое волновые функции систем ансамбля. Это все решения уравнения Шредингера с данным Гамильтонианом? Как определить что волновая функция принадлежит ансамблю? Для классического случая это как-то более очевидно, а тут каждая волновая функция ансамбля, как я понимаю, может сразу с разной вероятностью $ a_n^2$ принимать разное значение энергии $E_n$

[Cos(x-pi/2)]

Enceladoglu в сообщении #1688558 писал(а):

в чем причина держать в ансамбля одинаковые волновые функции?

В принципе, причина та же, по которой мы в протокол измерений напряжения вольтметром запишем 100 раз одно и то же напряжение, если вольтметр его показывает в 100 актах измерения. Попробуйте сначала детально разобрать совсем тривиальный пример - когда флуктуаций измеряемой величины вообще нет. В примере с вольтметром в этом случае $N$ штук измерений дают одно и то же число $G,$ т.е. $G^1=G^2=...=G^N=G.$ В этом случае среднее арифметическое $\langle G \rangle = G.$ На языке "статистического ансамбля" это выглядит так: N штук вольтметров разом показывают точно один и тот же результат $G,$ без разброса.

В квантовой механике аналогичный тривиальный пример - система, находящаяся в чистом квантовом состоянии, притом в стационарном. Для конкретности примера пусть речь идёт об атоме в основном (т.е. самом нижнем по энергии) состоянии; его волновая функция (в координатном представлении, $q$ - совокупность нужных для такого описания координатных переменных) есть $\psi_0=\phi_0(q)\,\exp(-iE_0t/\hbar).$ Пусть $\hat{G}$ - оператор какой-то физ. величины в атоме, действующий на функции, зависящие от $q.$ Тогда квантово-механическое среднее:

$$\langle G \rangle = \int dq \,\psi_0^*\hat{G}\psi_0=\int dq \,\phi_0^*\hat{G}\phi_0=G_{00}$$

Это матричный элемент $G_{nm}$ с номерами $n=0,\,m=0.$

Тогда то же самое в терминах статистического ансамбля (не просто квантово-механического, а в смысле статистической механики) описывается так: воображаем себе, будто бы на $N$ экземплярах атома проводились такие же квантово-механические измерения (каждое из которых и само по себе не однократный акт, а, как полагается в квантовой механике, включает накопление статистики), и в каждом измерении атомы этого ансамбля обнаруживались в состоянии $\psi_0,$ без разброса. Т.е. все волновые функции в этом ансамбле получились одинаковые: $\psi^1=\psi^2=...=\psi^N=\psi_0.$

Найдём в этом примерчике матрицу плотности согласно Вашему книжному определению. Для этого сначала разложим $\psi_0$ по стационарным состояниям:

$$\psi_0=\sum_n a_n\,\phi_n\,,\qquad \text{где}\quad a_n\,=\,\delta_{n0}\,\exp(-iE_0t/\hbar)\,.$$

Тогда:

$$\rho_{mn}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_m\,a_n^*=a_m\,a_n^* \,\frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^N 1=a_m\,a_n^*=\delta_{m0}\, \delta_{n0}$$

Среднее $\langle G \rangle$ в этом простейшем примере микроканонического ансамбля, определяемое через матрицу плотности, совпадает с обычным квантово-механическим:

$$\langle G \rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \sum_m\sum_n\rho_{mn}G_{nm} = G_{00}$$

Аналогично можно поразмыслить над слегка иным примером. Пусть теперь атом слабенько взаимодействует с окружающим его термостатом. Из-за этого взаимодействия атом уже не описывается всё время определённой волновой функцией. В большинстве измерений он проявляет себя по-прежнему как находящийся в основном состоянии $\psi_0.$ Но иногда (но тоже не в одном, а во многих актах измерения) он ведёт себя как в первом возбуждённом состоянии - с волновой функцией $\psi_1=\phi_1(q)\,\exp(-iE_1t/\hbar).$ (Для простоты не учитываю в этом рассуждении кратность вырождения возбуждённого состояния атома.) Ну а состояния с ещё большей энергией $E_n,$ допустим, возбуждаются настолько редко, что такими событиями можно вообще пренебречь.

В таком примере можно приближённо считать, что в $N\gg 1$ измерениях проявляются только два различных результата. В терминах ансамбля это означает, что среди $N$ волновых функций $\psi^k$ много раз встречается $\psi_0$ и во много раз меньшее количество раз встречается $\psi_1,$ а остальных $\psi_n$ в таком ансамбле практически нет. Это похоже на канонический ансамбль при очень низкой (по сравнению с энергией возбуждения $E_1-E_0)$ температуре.