Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1688391 писал(а):

А что считается в разных строках?

$\frac{\mu(k)}{k}J(\sqrt[k]{n})$, где $k$ это номер строки (левая колонка), в колонках все 4 слагаемых $J(x)$ и в самой правой итог суммирования. Всё строго по книге Дербишира "простая одержимость", глава 21, таблица 21.1, стр. 409.

vicvolf в сообщении #1688391 писал(а):

По-моему на PARI есть команда и для вычисления и $J(x)$.

Возможно, я не настолько понимаю математику чтобы узнать её по столь краткому описанию как в PARI. Обнародуйте плиз.

vicvolf в сообщении #1688391 писал(а):

Не понял. У Вас же везде 10 млн. нулей?

Да. И их не хватает для точного равенства с указанной точностью, надо ещё больше.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1688397 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688391 писал(а):

По-моему на PARI есть команда и для вычисления и $J(x)$.

Возможно, я не настолько понимаю математику чтобы узнать её по столь краткому описанию как в PARI. Обнародуйте плиз.

Нет, я ошибся, только через суммирование: $J(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{\pi(x^{1/k})/k}$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1688412 писал(а):

только через суммирование: $J(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{\pi(x^{1/k})/k}$.

И даже этого недостаточно, $J(x)$ принимает дробные значения (даже до деления на $k$) на простых и степенях простых - ну вот так её определили, в ней не "правильные" $\pi(x)$, а тоже доопределённые до дробных значений на простых.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1688415 писал(а):

ну вот так её определили, в ней не "правильные" $\pi(x)$, а тоже доопределённые до дробных значений на простых.

Меня это уже давно не напрягает, потому что там где надо в качестве $x$ беру не целое, а с прибавкой $0.000001$

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

Используется синтаксис Text

n=155921
  1:                          14389.0370810906              17.0674522471         -0.6931471806          0.0000000000  =                         14405.4113861571
  2:                            -42.2802358371               0.0997350812          0.3465735903         -0.0000002488  =                           -41.8339274144
  3:                             -6.4789166691              -0.1243403752          0.2310490602         -0.0000129638  =                            -6.3722209479
  5:                             -1.3122730261               0.1072749823          0.1386294361         -0.0002978887  =                            -1.0666664964
  6:                              0.8213114166               0.0435656436         -0.1155245301          0.0006474669  =                             0.7499999970
  7:                             -0.5638964859              -0.0339993911          0.0990210258         -0.0011250378  =                            -0.4999998891
 10:                              0.2430228397               0.0232568337         -0.0693147181          0.0030351361  =                             0.2000000914
 11:                             -0.1938109652               0.0436362423          0.0630133801         -0.0037480044  =                            -0.0909093473
 13:                             -0.1289850667               0.0039348721          0.0533190139         -0.0051919374  =                            -0.0769231181
 14:                              0.1069241061               0.0081097929         -0.0495105129          0.0059051828  =                             0.0714285689
 15:                              0.0892958839               0.0169753052         -0.0462098120          0.0066051261  =                             0.0666665032
 17:                             -0.0632096301              -0.0284337889          0.0407733636         -0.0079529708  =                            -0.0588230262
14389.037081090565938281780070180898713\\li(n)
14356.500011078238148023773800925770675
14357\\pi(n)

Обращу внимание что значение 14356.5 - точное, именно на 0.5 меньше $\pi(155921)=14357$ - так задана $J(x)$.

Как я понял первая строка соответствует формуле Римана для вычисления $J(x)$. Тогда почему сумма по нулям суммируется, а не вычитается?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1688420 писал(а):

Тогда почему сумма по нулям суммируется, а не вычитается?

Потому что сразу же умножается на $-1$ :

Yadryara в сообщении #1687974 писал(а):

Для первого нуля формула такая: $-2\operatorname{li} (x^{\rho_1})$

В PARI вычислял так: 2*real(eint1(-log(x)*(1/2+z[1]*I)))

vicvolf в сообщении #1688420 писал(а):

Как я понял первая строка соответствует формуле Римана для вычисления $J(x)$.

Вот именно. И мы с Дмитрием понимаем её так же — как сумму по строке. А у Вас $J(x)$ это другое. Опять пошла путаница.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688421 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688420 писал(а):

Как я понял первая строка соответствует формуле Римана для вычисления $J(x)$.

Вот именно. И мы с Дмитрием понимаем её так же — как сумму по строке. А у Вас $J(x)$ это другое. .

Почему другое? Это формула Римана для вычисления $J(x)$. А как Вы ее расположите по строке, колонке или диагонали - это Ваше дело.

[Yadryara]

Берём и сравниваем. У Римана:

$$ J(x) = \int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t} - \sum\limits_{i=1 }^{\infty}Li(x^{\rho_i})-\ln2 + \int\limits_{x}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}$$

У Вас:

vicvolf в сообщении #1688412 писал(а):

$J(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{\pi(x^{1/k})/k}$.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1688426 писал(а):

Берём и сравниваем.

И они в точности равны, если брать бесконечное количество нулей. Смотрите формулу 19.1 главы 19 на стр.359 книги Дербишира. Именно поэтому стал возможен трюк с быстрым вычислением строк (кроме одной-двух первых), именно через $\pi(x)$.
Единственно что, строки ещё домножены на $\mu(k)/k$, так что в них не чистая $J(x)$ (кроме первой строки).

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688426 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688412 писал(а):

$J(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{\pi(x^{1/k})/k}$.

В данном случае я не имею в виду эту формулу, а формулу Римана.

-- 01.06.2025, 19:56 --

Dmitriy40 в сообщении #1688427 писал(а):

Единственно что, строки ещё домножены на $\mu(k)/k$, так что в них не чистая $J(x)$ (кроме первой строки).

Но в первой строке $\mu(1)J(x)/1=J(x)$.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1688427 писал(а):

И они в точности равны, если брать бесконечное количество нулей.

С оговоркой, что $\pi(x)$ и на 359-й странице и у vicvolfа это не настоящая $\pi(x)$, согласен.

[vicvolf]

Цитата:

Берём и сравниваем. И они в точности равны, если брать бесконечное количество нулей.

Но взять бесконечное число нулей мы не можем. Тут и встает вопрос, какое должно быть минимальное число нулей, чтобы обеспечить требуемую точность вычисления $J(x)$ и соответственно $\pi(x)$ при нужном значении x.

[Yadryara]

А теперь предлагаю вернуться к кортежам. Дырявыми кортежами (кроме пар с большими гэпами) люди вроде бы не сильно интересовались. Зато плотными кортежами интересовались плотно.

Длина Диаметр  Плотность   Паттерн                  1-й кортеж   2-й кортеж
2        2       2         0 2                               3            5

3        6       3         0 2 6                             5           11
3        6       3         0 4 6                             7           13

4        8       2.667     0 2 6  8                          5           11

5       12       3         0 2 6  8 12                       5           11
5       12       3         0 4 6 10 12                       7           97

6       16       3.2       0 4 6 10 12 16                    7           97

7       20       3.333     0 2 6  8 12 18 20                11       165701
7       20       3.333     0 2 8 12 14 18 20              5639        88799

8       26       3.714     0 2 6  8 12 18 20 26             11     15760091
8       26       3.714     0 2 6 12 14 20 24 26             17         1277
8       26       3.714     0 6 8 14 18 20 24 26          88793       284723

Пока ограничился 8-ками. Здесь плотность это попросту средний гэп паттерна.

Можно посмотреть чему равна та или иная сумма по дзета-нулям вблизи не крошечных плотных кортежей.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1688431 писал(а):

Но взять бесконечное число нулей мы не можем. Тут и встает вопрос, какое должно быть минимальное число нулей, чтобы обеспечить требуемую точность вычисления $J(x)$ и соответственно $\pi(x)$ при нужном значении x.

При вычислении $J(x)$ по формуле Римана точность вычисления зависит от верхней границы нетривиальных нулей дзета функции Римана, т.е. если нетривиальный ноль имеет вид
$a+bi$, то $|b| \leq T$, где $T>0$ - указанная верхняя граница.

Количество нетривиальных нулей до указанной верхней границы определяется по известной формуле:
$N(T) \sim \frac {T}{2\pi}\ln (\frac{T}{2\pi e})$. (1)

Полученный в формуле (1) результат надо умножить на 2, чтобы учесть симметричные нули.

Обычно для получения требуемой точности используют пошаговый метод. Начинают с малого значения $T$ и сравнивают изменение суммы нетривиальных нулей при увеличении $T$. Останавливаются, когда добавление новых нулей меняет результат меньше чем на $\epsilon$ (требуемая точность).

Если остановка происходит при $T=T_0$. Тогда требуемое количество нулей определяется с использованием формулы (1) - $2N(T_0)$.

Например, для определения $\pi(10^{24})$ Платт использовал 69.7 млрд нулей.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1688515 писал(а):

При $x>10^{10}$ рекомендуют начинать с $T=2x\ln(x)$ пока не достигается требуемая точность - $T_0$.

Вы издеваетесь? Для чисел около $10^{26}$ так потребуются нули до $1.2\cdot10^{28}$, которых будет порядка $1.2\cdot10^{29}$ штук!! Хотя люди сумели обойтись всего лишь 103 миллиардами.
Или Вы опять тупо транслируете банальности от чат-бота? Зачем?