По определению, многоугольник — это пересечение конечного набора полуплоскостей, которое ограниченно и не содержится в прямой (т.е. непусто, не является одной точкой и не является отрезком). Вы пользуетесь несколько другим определением, но для него эти рассуждения можно адаптировать. Или проверить, что определения эквивалентны.
В принципе, если пересекать многогранник (да хоть куб) плоскостью, может быть любой случай: пустое множество когда плоскость далеко, точка — когда многогранник касается плоскости по вершине, отрезок — когда он касается плоскости по отрезку, и многоугольник в остальных случаях (когда многогранник лежит гранью на плоскости или когда плоскость проходит через его внутреннюю точку).
Логически можно предположить, что секущая плоскость пересекает часть граней многогранника по отрезкам, между которыми есть пробелы (то есть они не складываются в ломанную). Надо доказать, что такого не может быть.
Если уж вашим определением пользоваться, то придётся попотеть. А именно, можно рассмотреть решётку граней многогранника (т.е. его вершины, рёбра и грани с отношением инцидентности). Потом начать двигаться вдоль границы сечения в порядке обхода и аккуратно смотреть, когда на этой границе появляются рёбра (это могут быть рёбра многогранника, а могут быть отрезки с концами на разных рёбрах, у которых остальные точки во внутренности одной грани), а когда вершины (вершины многогранника или внутренние точки рёбер). Ну и двигаться бесконечно мы не можем, хотя бы потому, что каждую грань посетим не больше одного раза.
