2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5525
Нов-ск
geodx в сообщении #1686071 писал(а):
В пределе "заворачиваем" все неровности квадрата до такой степени, что он становится неотличим от окружности.
Накроем квадрат огромным что попало. В пределе "заворачиваем" все неровности этого что попало до такой степени, что оно становится неотличимым от окружности. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 14:06 


16/07/17
56
amon в сообщении #1686097 писал(а):
Проблема в слове "неотличим". Для измерения длины оно должно означать, что длина ломаной стремится к длине кривой, а у Вас к нулю стремится максимальное расстояние между кривой и ломаной.

Так вот в чем ошибка. Длина кривой и расстояние от кривой до кривой это разные вещи. Тонкий момент. А где можно почитать про это поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5525
Нов-ск
geodx в сообщении #1686139 писал(а):
Так вот в чем ошибка. Длина кривой и расстояние от кривой до кривой это разные вещи. Тонкий момент.
Не очень тонкий. Намотайте на окружность верёвку. Оборотов двадцать можете сделать. От верёвки до окружности расстояние маленькое. Но верёвка длиннее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 16:22 


16/07/17
56
20 оборотов - это уже самопересечения. Попроще бы пример )))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5525
Нов-ск
geodx в сообщении #1686155 писал(а):
20 оборотов - это уже самопересечения.
Намотайте без самопересечений. (Сначала соедините в кольцо.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение17.05.2025, 16:57 
Заслуженный участник


07/08/23
1506
geodx в сообщении #1686139 писал(а):
А где можно почитать про это поподробнее?

Обычно это есть в учебниках по матанализу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение18.05.2025, 12:17 


26/08/11
2151
Апроксимировать к ломанной можно, и даже нужно, но к "правильной" ломанной- та, котороя соединяет две точки графика, а не к "ступенчатой".

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ на $[-1;0]$ (пусть будет возрастающая). Разделим интервал на интервальчики длиной $dx$.

Получаются прямоугольные треугольнички с катетами $dx$ и $f(x+dx)-f(x)$. При ступенчатой ломанной, как ни определяй $dx$, сумма горизонтальных какетов всегда равна $1$ - радиусу, ровно как и сумма горизонтальных. В игоге длина исследуемой части равна $2$, окружности - $8$ - глупость. Потому что не катеты надо складывать, а гипотенузы. Для каждого треугольничка

$c=\sqrt{[f(x+dx)-f(x)]^2+(dx)^2}$. Умножим и разделим на $dx$

$c=dx\sqrt{\left[\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right]^2+1}$

При $dx \to 0$ присматривается производная. В Итоге

$L=\int dx \sqrt{[f'(x)]^2+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение18.05.2025, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5482
ФТИ им. Иоффе СПб
geodx в сообщении #1686139 писал(а):
А где можно почитать про это поподробнее?
Опять на языке родных осин. Уважаемый drzewo, да и другие, намекали, что длина гладкой кривой определяется не столько координатами точек ($y(x)$), сколько производной $\frac{dy(x)}{dx}.$ (Длина пути - скорость, умноженная на время.) Поэтому "расстояние" между исходной и аппроксимирующей кривой должно обеспечивать не только равенство координат, но и равенство производных. Для вписанных-описанных многоугольников это выполняется - сторона такого многоугольника стремится к касательной при увеличении числа сторон, а для ступенек - нет. То есть, можно по-разному определять "расстояние" между кривыми, и получать разные результаты. Где-то в "Кванте" была заметка Васильева "Метрические пространства", где тема "расстояний" пересказывалась в удобоваримом виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение31.05.2025, 03:03 


16/07/17
56
Нашел ответ на свой вопрос: https://www.youtube.com/shorts/GR5vZy0j-lE

Немного неожиданно и совсем уж не интуитивно )))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение31.05.2025, 07:41 
Заслуженный участник


07/08/23
1506
Это интуитивно понятно тем, кто освоил курс матанализа. Вообще в любом разделе математики при первом знакомстве может найтись куча неожиданных и временно неинтуитивных вещей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение31.05.2025, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2462
МО
amon в сообщении #1686329 писал(а):
Для вписанных-описанных многоугольников это выполняется - сторона такого многоугольника стремится к касательной при увеличении числа сторон

Здесь, наверное, стоило бы добавить, что, когда речь идет о поверхностях, ситуация меняется в еще худшую сторону: площадь вписанных многогранников может стремиться к бесконечности для вполне себе конечной поверхности ("сапог Шварца").

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение02.06.2025, 13:43 


16/07/17
56
Спасибо, сапог Шварца - это как таблетка активированного угля с сильно развитой поверхностью.
Но это трехмерные фигуры, где площадь боковины бесконечна при конечном объеме. А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?

Или для доведения размерности до бесконечности путем искривлений и загибов нужно это делать на фигуре на одну размерность больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение02.06.2025, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9733
Цюрих
geodx в сообщении #1688474 писал(а):
А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?
Ограниченных - нет, потому что площадь фигуры не превосходит площади круга, в который она помещается.
Существуют (если принять аксиому выбора) двумерные фигуры у которых вообще площади нет (не нулевая, а именно отсутствует).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение02.06.2025, 14:02 
Заслуженный участник


07/08/23
1506
geodx в сообщении #1688474 писал(а):
Спасибо, сапог Шварца - это как таблетка активированного угля с сильно развитой поверхностью.

Дело не в том, что существуют поверхности бесконечной площади. Кривые бесконечной длины тоже легко построить. Сапог Шварца — это про то, что наивное определение площади поверхности не работает уже для цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство длины окружности через описанный квадрат
Сообщение02.06.2025, 15:23 


16/07/17
56
mihaild в сообщении #1688477 писал(а):
geodx в сообщении #1688474 писал(а):
А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?
Ограниченных - нет, потому что площадь фигуры не превосходит площади круга, в который она помещается.
Существуют (если принять аксиому выбора) двумерные фигуры у которых вообще площади нет (не нулевая, а именно отсутствует).

Кривая Гильберта?

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group