Доказательство длины окружности через описанный квадрат

[dgwuqtj]

geodx в сообщении #1688490 писал(а):

Кривая Гильберта?

Кривая Гильберта — это отображение $[0, 1] \to [0, 1] \times [0, 1]$. Не фигура, а именно отображение. Её образ — это весь квадрат единичной площади. И вообще нет явных конструкций неизмеримых фигур, а кривая Гильберта строится вполне конкретным образом.

[mihaild]

geodx в сообщении #1688490 писал(а):

Кривая Гильберта?

Площадь берется не у кривой, а у её образа (хотя часто кривую отождествляют с образом, но в данном случае это явно мешает). Образ кривой Гильберта - просто квадрат, у него площадь определена.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1688493 писал(а):

Площадь берется не у кривой, а у её образа

а как определяется сама кривая?

[mihaild]

drzewo в сообщении #1688494 писал(а):

а как определяется сама кривая?

Непрерывная функция из отрезка в плоскость (или еще куда-то).

[drzewo]

mihaild в сообщении #1688498 писал(а):

Непрерывная функция из отрезка в плоскость (или еще куда-то).

У Вас просто как-то странно прозвучало:

mihaild в сообщении #1688493 писал(а):

Площадь берется не у кривой, а у её образа

это выглядит так, что есть одно множество -- собственно кривая Гильберта, и есть другое множество -- это ее образ при каком-то отображении. Теперь выясняется, что сама кривая -- это отображение.

-- 02.06.2025, 18:57 --

mihaild в сообщении #1688498 писал(а):

Непрерывная функция из отрезка в плоскость (или еще куда-то).

Кстати, если это определение кривой, то Колмогоров Фомин с Вами не согласны.

[mihaild]

drzewo в сообщении #1688500 писал(а):

это выглядит так, что есть одно множество -- собственно кривая Гильберта, и есть другое множество -- это ее образ при каком-то отображении. Теперь выясняется, что сама кривая -- это отображение

Не вижу противоречия. Сама кривая - это отображение, поэтому говорить о ее площади бессмысленно, осмысленно говорить о площади её образа.

drzewo в сообщении #1688500 писал(а):

Кстати, если это определение кривой, то Колмогоров Фомин с Вами не согласны

А какое у них? В алфавитном указателе нет.
Рудин согласен (явно выписывая определение), Мищенко Фоменко тоже (определения не выписывают, но из контекста понятно, что под кривой подразумевается отображение; они, правда, отображения из всей прямой в пространство тоже называют кривыми).

[drzewo]

У меня это глава 2 параграф 8 "Непрерывные кривые в метрических пространствах"

[geodx]

mihaild в сообщении #1688493 писал(а):

geodx в сообщении #1688490 писал(а):

Кривая Гильберта?

Площадь берется не у кривой, а у её образа (хотя часто кривую отождествляют с образом, но в данном случае это явно мешает). Образ кривой Гильберта - просто квадрат, у него площадь определена.

Кривая Гильберта - это же не квадрат, а линия, которая все сильнее и сильнее извивается и приближается к квадрату. Но это не квадрат и площади у нее нет.

Или она в пределе приближается к квадрату и в пределе площадь у нее есть?

А как получается обычный квадрат? Плотно уложенные отрезки, расстояние между которыми стремится к нулю? Тогда получается, что двумерные объекты порождают трехмерный объект.

Тогда проще построить квадрат, раскручивая спираль с бесконечно маленьким шагом между витками или змейкой туда-сюда, а не городить кривую Гильберта.

[mihaild]

geodx в сообщении #1688514 писал(а):

Кривая Гильберта - это же не квадрат, а линия, которая все сильнее и сильнее извивается и приближается к квадрату.

Нет, кривая Гильберта - это сюръекция из отрезка в квадрат. Получающаяся как предел "все сильнее извивающихся" кривых (у каждой из которой есть площадь, равная нулю). Одна конкретная кривая "все сильнее извиваться" не может, она фиксирована.

geodx в сообщении #1688514 писал(а):

Тогда проще построить квадрат, раскручивая спираль с бесконечно маленьким шагом между витками или змейкой туда-сюда, а не городить кривую Гильберта.

Не бывает никаких "спиралей с бесконечно маленьким шагом". Нужно отличать последовательности от их членов и предела.

И кстати аналога инъективного аналога кривой Гильберта нет - любая непрерывная сюръекция из отрезка в квадрат неинъективна.

[Geen]

mihaild в сообщении #1688516 писал(а):

Нужно отличать последовательности от их членов и предела.

Кстати, а почему предел последовательности кривых это кривая?

[mihaild]

Geen в сообщении #1688517 писал(а):

Кстати, а почему предел последовательности кривых это кривая?

Если сходимость равномерная - то по соответствующей теореме. Если неравномерная - то нипочему.

drzewo в сообщении #1688512 писал(а):

У меня это глава 2 параграф 8 "Непрерывные кривые в метрических пространствах"

Ага, там класс эквивалентности кривых. Так тоже можно, но мне не нравится. Хотя понятно что неважно, доказывать, например, независимость длины от параметризации всё равно придется, а где этим заниматься - непринципиально.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1688523 писал(а):

Ага, там класс эквивалентности кривых.

Да, и далеко не только там.

mihaild в сообщении #1688509 писал(а):

Мищенко Фоменко тоже (определения не выписывают, но из контекста понятно, что под кривой подразумевается отображение;

Из контекста понятно совсем другое:

Цитата:

Пусть $S^2$ снабжена стандартной метрикой. Тогда геодезическими римановой связности являются все плоские сечения сферы (через ее центр) и только они.

Цитата:

Точно также можно поступить, если мы хотим измерить угол между двумя пересекающимися на сфере $S^2$ кривыми $\gamma_1(t)$ и $\gamma_2(t)$ (когда обе кривые целиком лежат сфере $S^2$).

[mihaild]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1688524 писал(а):

Из контекста понятно совсем другое:

Использование слова "геодезическая" в первой Вашей цитате противоречит его использованию во второй. А еще они пишут, например

Цитата:

Существует и единственна геодезическая $\gamma(t)$, такая, что $\gamma(0) = P$, $\dot \gamma(0) = \vec a$.

В любом случае, предлагаю сойтись на том, что это неважно, и жуткий оффтоп.