Распределение min от случайной величины

[seraphimt]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, с задачей. Есть последовательность н.о.р.с.в. $\xi_n$ с $P(\xi_n = k) = p(1-p)^{k-1}$. Нужно найти распределение с.в. $\tau= min\{n>0: \xi_n >1\}$ и $\xi_{\tau}$ и вычислить их мат ожидание.
Я считал так:
$P(\tau = 1) = P(\xi_1>1) = 1 - P(\xi = 1) = 1-p$
$P(\tau = 2) = P(\xi_1 = 1) * P(\xi_2 >1) =p(1-p)$ т.к. они н.о.р.
И в общем $P(\tau = k) =p^{k-1}(1-p)$
$E\tau = \sum k * p^{k-1}(1-p) = (1-p) (\sum p^{k})' = (1-p)(\frac{1}{1-p})' = \frac{1}{1-p}$
Но вот что такое $\xi_{\tau}$ и как его считать я вообще не понял =_=

[Combat Zone]

Случайная величина, зависящая от другой случайной величины. Можно использовать условное матожидание. Можно просто честно построить распределение $\xi_{\tau}$ по формуле полной вероятности. По моим прикидкам, оно тоже геометрическое. Что вам кажется более простым, то и делайте.

[seraphimt]

Combat Zone
Спасибо!
Насколько я понял, $\xi_{\tau}$ - это значение первого не равного единицы числа в последовательности $\xi_n$.
Совсем не уверен, но по полной вероятности у меня получилось как - то так:
$P(\xi_{\tau} = 1) = 0$
$P(\xi_{\tau} = 2) = P(\xi_1 = 2)\sum_k P(\tau = k)$

[Combat Zone]

Почему единица - с нулевой вероятностью?

[B@R5uk]

seraphimt, последовательность то конечная или бесконечная? Если бесконечная, то интуиция и здравый смысл подсказывают (возможно неправильно — утверждение требует доказательства), что минимум последовательности уже не будет случайной величиной, а будет иметь фиксированное (минимально возможное для кси) значение. Причина: вероятность наткнуться на минимально возможное значение в бесконечной последовательности случайных величин равна 1.

[realeugene]

B@R5uk
$\tau$ - длина префикса последовательности из всех единиц плюс 1, а не минимум в бесконечной последовательности.

-- 26.05.2025, 12:28 --

Combat Zone в сообщении #1687549 писал(а):

Почему единица - с нулевой вероятностью?

По условию остановки.

Вполне очевидно, что распределение $\xi_{\tau}$ не зависит от $\tau$ и получается из исходного $P(\xi_n)$ условием $\xi_n > 1$ .

[B@R5uk]

realeugene, спасибо за уточнение. По записи

seraphimt в сообщении #1685634 писал(а):

$\tau=\min\{n>0: \xi_n >1\}$

не совсем понятно, что имеется в виду, и, мне кажется, эта запись ошибочна в трактовке "префикс последовательности": минимум целого числа, которое больше нуля, равен 1, либо же не существует, если $\xi_1=1$

[realeugene]

B@R5uk в сообщении #1687600 писал(а):

либо же не существует, если $\xi_1=1$

Почему же, в таком случае просто $n > 1$. Минимум не существует для бесконечной реализации из всех единиц, но вероятность такого события нулевая.

[B@R5uk]

О, теперь понял постановку.

[Combat Zone]

realeugene в сообщении #1687595 писал(а):

По условию остановки.

Вопрос был к ТС.

[seraphimt]

Combat Zone в сообщении #1687549 писал(а):

Почему единица - с нулевой вероятностью?

Ну у нас просто по определению так выходит, если правильно понимаю. Как значение первого числа большего единицы может быть единица?