Про степени свободы

[drzewo]

Дело в том, что само понятие "overconstrained mechanism" не имеет смысла.
Пусть по плоскости движется точка с координатами $(x_1,x_2)$. У такой точки две степени свободы. Если мы наложим две связи:

$$f_1=x_1x_2=0,\quad f_2=x_2=0\qquad (1)$$

то <<должно>> остаться ноль степеней свободы, а точка все равно движется вдоль прямой $\{x_2=0\}$. Более того ранг матрицы $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ почти всюду максимален.
На самом деле переопределенную систему (1) следует просто заменить на эквивалентную, но всюду невырожденную и непереопределенную систему из одного уравнения:

$$x_2=0.$$

Вот это ровно то, что мы имеем с дверями и с механизмом из стартового поста.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1685410 писал(а):

На самом деле переопределенную систему (1) следует просто заменить на эквивалентную, но всюду невырожденную и непереопределенную систему из одного уравнения:

$$x_2=0.$$

Вот это ровно то, что мы имеем с дверями и с механизмом из стартового поста.

Пфф... В идеальном математическом мире - возможно, а в реальном мире если повесить дверь на одной петле, эта петля будет немедленно сломана. Силы, возникающие в связях, тоже важны.

[EXE]

Из многолетнего опыта общения с ТММ-шниками понял, что для рычажных механизмов самым первым делом является расчёт кинематики его точек. Расчёт кинематики модели миксера по схеме механизма Шаца можно получить на основе решения обыкновенной СНАУ.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1685410 писал(а):

Пусть по плоскости движется точка с координатами $(x_1,x_2)$. У такой точки две степени свободы. Если мы наложим две связи:

$$f_1=x_1x_2=0,\quad f_2=x_2=0\qquad (1)$$

...
Вот это ровно то, что мы имеем с дверями и с механизмом из стартового поста.

Спасибо за разъяснения, конечно. Но с дверями и "турбулой", на мой взгляд чуть по-другому.
В том же примере с материальной точкой на плоскости:
Пусть наложены две связи

$$f_1=x_1+ k_1 x_2=0,\quad f_2=x_1 + k_2 x_2=0\qquad$$

Где $k_1, k_2$ - некоторые постоянные параметры.

Если $k_1 \ne k_2$ - то имеется одно "точечное" решение, и механическая система двигаться не может.
Если $k_1 = k_2$, то система уравнений связей вырождается, появляется однопараметрическое решение, а значит механическая система получает одну степень свободы.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1685535 писал(а):

Но с дверями и "турбулой", на мой взгляд чуть по-другому.

Я комментировал понятие overconstrained mechanism. А оно ровно такое, какой пример я привел -- см. определение.

Что касается Вашего примера, то я готов обсуждать зависимость уравнений связи от параметров -- это интересный вопрос, но только это не overconstrained mechanism
-- в определении overconstrained mechanism ни чего не говорится про параметры.

[EUgeneUS]

drzewo

drzewo в сообщении #1685545 писал(а):

см. определение.
...
-- в определении overconstrained mechanism ни чего не говорится про параметры.

Вот определение, как водится, из англовики:

Цитата:

In mechanical engineering, an overconstrained mechanism is a linkage that has more degrees of freedom than is predicted by the mobility formula.

В определении ничего не говорится про параметры, это так. Но определению вполне могут соответствовать системы, у которых система связей вырождается при некотором наборе значений параметров.

А набор параметров может быть выбран сильно по разному.
На примере шестизвенных замкнутых цепочек с шестью шарнирами.

В 3D есть
а) шесть звеньев - 5 независимых параметров (относительные длины звеньев).
б) шесть шарниров - $6 \times 2 = 12$ независимых параметров. По два угла в каждом шарнире - углы относительно оси шарнира, с которыми присоединяются звенья.
Итого 17 параметров. (возможно их может быть меньше из-за требования замкнутости цепочки).

При этом "формула подвижности" в 3D даёт ноль степеней свободы.

1. При некотором наборе значений параметров система связей вырождается и становится возможным 3D движение с одной степенью свободы. Это "турбула" из стартового поста.

2. Теперь представим, что все шарниры удовлетворяют требованиям:
а) оси шарниров перпендикулярны всем звеньям, присоединенным к ним.
б) все оси шарниров параллельны.

С одной стороны, в 3D, мы имеем:
а) "формула подвижности" в 3D всё так же даёт ноль степеней свободы.
б) но система имеет даже не одну степень свободы, а несколько (три - см. ниже).
в) то есть можно сказать, что при таком наборе параметров система связей многократно выродилась

С другой стороны, легко видеть, что при таких ограничениях механизм становится плоским, а там:
а) количество параметров меньше - всего 5 (углы при шарнирах уже не параметры).
б) формула подвижности другая, и согласно ей получается три степени свободы.
в) при этом для системы связей записанных в 2D вырождения не происходит.

-- 10.05.2025, 15:35 --

EXE в сообщении #1684977 писал(а):

Другими словами, говорят, что создать его мат модель в лоб по схеме невозможно.

...

EXE в сообщении #1685477 писал(а):

Расчёт кинематики модели миксера по схеме механизма Шаца можно получить на основе решения обыкновенной СНАУ.

Вот что животворящий $\sqrt{3}$ делает! Невозможная модель оказалась возможной

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1685549 писал(а):

Вот определение, как водится, из англовики:
Цитата:

In mechanical engineering, an overconstrained mechanism is a linkage that has more degrees of freedom than is predicted by the mobility formula.

Ну это же смешно просто. Есть механическая система, которая вполне прилично себя ведет (как дверь, например), но для подсчета ее числа степеней свободы не подходит какая-то формула, но мы можем совершенно спокойно найти ее число степеней свободы и без этой формулы. Но нет, давайте мы придумаем для этой ситуации умный термин.

EUgeneUS в сообщении #1685549 писал(а):

то есть можно сказать, что при таком наборе параметров система связей многократно выродилась

а можно сказать, что мы рассматриваем совершенно конкретную систему с данным набором параметров и невырожденной системой связей.
(невырожденной -- после выбрасывания из системы уравнений связей, тех уравнений, которые выражаются через оставшиеся независимые)
Физики в таких лингвистических упражнениях - нуль.

-- 10.05.2025, 18:06 --

Я думаю, что в этих вещах есть здравое зерно, надо найти адекватные термины и адекватную постановку задачи.
При этом overconstrained mechanism -- это чепуха, которая физического смысла как таковая не имеет.

-- 10.05.2025, 18:19 --

Например, пусть связи нестационарны и топология конфигурационного многообразия меняется в какой-то момент времени. Число степеней свободы в частности меняется.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1685551 писал(а):

При этом overconstrained mechanism -- это чепуха, которая физического смысла как таковая не имеет.

Любая классификация - это игры разума.
Наличие большого, малого, или вообще, смысла в выделении overconstrained mechanism в отдельный класс - оставим за скобками.
Но критерий, надо отдать должное, вполне конкретен и понятен.
Да, иногда (впрочем, так регулярно бывает, если пытаться следовать классификации строго) это приводит к утверждениям близким к абсурду: если рассматривать дверь, как твердое тело, вращающееся вокруг какой-то фиксированной оси - то это "хорошая система", не имеющая отношения к overconstrained mechanism. А если рассматривать ту же самую дверь подвешенную на двух петлях, которые плотник может прикрутить криво, то она оказывается overconstrained mechanism.

drzewo в сообщении #1685551 писал(а):

Я думаю, что в этих вещах есть здравое зерно, надо найти адекватные термины и адекватную постановку задачи.

Назовем системы "интересными", такие что
а) они имеют вырожденную систему связей, (или систему связей, которая вырождается при некотором наборе значений параметров).
б) интересны Вам
в) множество "интересных" систем не совпадает с множеством overconstrained mechanism.

Можете привести пример "интересной" системы, или попытаться сформулировать критерии для них?

[drzewo]

EUgeneUS
Мне пока приходит в голову только один пример, который мне когда то показал профессор М.Н.Кирсанов.

https://storage4u.ru/file/2025/05/10/8805be544592cb97ac81bd5a7cca2fb5.pdf

-- 10.05.2025, 20:11 --

Заметьте: здесь вырождение связи приводит к особенности конфигурационного многообразия, это так просто как в обсуждавшихся выше примерах не объедешь

[EUgeneUS]

drzewo
Спасибо. Теперь более понятно, что Вас интересует. Согласен, это не имеет отношения к overconstrained mechanism.

Сразу обратил внимание, что это четырехзвенный механизм. А они, вроде бы, неплохо изучены.
И погуглил немного. Оказалось, про неопределенные состояния известно, и даже какие-то классификации пытаются прикручивать. Например.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1685410 писал(а):

Дело в том, что само понятие "overconstrained mechanism" не имеет смысла.
Пусть по плоскости движется точка с координатами $(x_1,x_2)$.

Если исходить из того, что люди, придумавшие такие понятия, были не идиотами, единственный возможный вывод - что вы опять перепутали математику с физикой. Легко в систему уравнений добавить просто копию одного из уравнений связи. Но сложно в одной и той же точке пространства разместить две разные связи. Некорректно считать количество связей по математической модели в отрыве от физической модели механизма в пространстве.

[EXE]

Одна степень свободы. Как мы знаем, всё давно, легко и просто объёзжается.

[EUgeneUS]

EXE в сообщении #1685609 писал(а):

Одна степень свободы. Как мы знаем, всё давно, легко и просто объёзжается.

Тут вообще вопрос не про степени свободы.
А про то (упрощено), что если Вы закрутите в начальном положении один радиус по часовой стрелке, а другой - против часовой, то всё равно "всё легко и просто объезжается".

[realeugene]

EXE в сообщении #1685609 писал(а):

Одна степень свободы. Как мы знаем, всё давно, легко и просто объёзжается.

Но в одной точке есть сразу два разных направления, куда можно двигаться без нарушения точной связи. Энергия упругости связи в этой точке четвёртого порядка малости во всех направлениях в двумерном конфигурационном пространстве. Соответственно, функционал энергии упругости связи в окрестности этой точки в требуемом для анализа задачи приближении больше не эллипсоид, и подсчёт количества степеней свободы механизма к этой точке не применим.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1685619 писал(а):

и подсчёт количества степеней свободы механизма к этой точке не применим.

"Подсчёт степеней свободы" применяется не к точке, а ко всему конфигурационному многообразию.
Одномерная кривая с самопересечением не перестаёт быть одномерной кривой.