Математически точные решения уравнений 5 или большей степени

[nnosipov]

Slava в сообщении #1440728 писал(а):

Оказывается есть многочлены Чебышева первого и второго рода.

И третьего, и четвертого тоже есть.

[dmd]

Любое произвольное уравнение 5-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому $x^5+x+a=0$. А любой трином произвольной степени с одним параметром решается по формулам Меллина/Лагранжа при помощи одного суммирования/интегрирования - математически точно и практически проверяемо.

Очень познавательная статья более 100-летней давности на эту тему Л. Лахтинъ. Выраженiе корней трехчленнаго алгебраическаго уравненiя посредствомъ опредѣленныхъ интеграловъ (1890).

Практическая проверка формулы из этой статьи в Вольфраматике:

a = RandomInteger[{-48, 48}]; m = RandomInteger[{3, 48}]; n = RandomInteger[{1, m - 2}];
Print["\nEquation: z^", m, If[a > 0, " - ", " + "], Abs[a], "*z^", n, " - 1 = 0\n"];
Print["Ordinary solution:"];
Print[z /. (z^m - a z^n - 1 // NSolve) // Sort, "\n"];
Print["Solution with definite integration:"];
S = Table[
   Exp[2 j Pi I/m] +
  1/(2 Pi I) (Exp[(2 j + 1) Pi I/m]*NIntegrate[Log[1 + a t^n/(1 + t^m) Exp[(2 j + 1) Pi I n/m]], {t, 0, Infinity}, MaxRecursion -> 200] - 
                  Exp[(2 j - 1) Pi I/m]*NIntegrate[Log[1 + a t^n/(1 + t^m) Exp[(2 j - 1) Pi I n/m]], {t, 0, Infinity}, MaxRecursion -> 200]),
   {j, 0, m - 1}
   ];
Print[S // Sort];

Произвольное уравнение 6-й степени тоже вроде бы сводимо к триному с одним параметром. Но вот минимальное сведение произвольного уравнения 7-й степени - это либо трином с двумя параметрами (например $x^7+ax+b=0$), либо квадрином тоже с двумя параметрами (например $x^7+ax^2+bx+1=0$). А два параметра по формулам Меллина означает двойное суммирование/интегрирование. Формулы Меллина "математически точны" вообще для любого произвольного алгебраического уравнения, сколько параметров в уравнении - столько и вложенных сумм в формуле Меллина. Но вот любая попытка практически проверить формулы Меллина с хотя бы двойным суммированием приводит к расходящимся вычислениям.

[Утундрий]

nnosipov в сообщении #1440801 писал(а):

Slava в сообщении #1440728 писал(а):

Оказывается есть многочлены Чебышева первого и второго рода.

И третьего, и четвертого тоже есть.

[nnosipov]

Утундрий
В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000. Стр. 87.

[novichok2018]

У Лахтина есть и книги по теме, цитируются в книге Соловьёва. Никто их никогда не видел, вот бы их отсканировали, у кого есть доступ. Хорошо что есть статьи, спасибо коллегам с матнета, которые отсканировали древние номера матсборника.
Методы Лагранжа и Меллина на формулах разной природы основаны, у одного гипергеометрические ряды, которые потом назовут рядами Горна, у другого - именная формула Лагранжа, тоже приводящая к гипергеометрическим решениям.
Сходимость в очевидной области у Меллина доказана. Точные области сходимости его рядов названы разными именами, но не знаю, найдены ли они даже для двойных рядов.

[B@R5uk]

Есть ещё метод Штурма. Про него можно почитать в книжке Шафревич И.Р. - О решении уравнений высших степеней (методом Штурма). Но это уже в сторону от темы.

[Skipper]

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Любое произвольное уравнение 5-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому $x^5+x+a=0$.

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Произвольное уравнение 6-й степени тоже вроде бы сводимо к триному с одним параметром.

Что значит "свести"?

Возьмём например, произвольное уравнение 6-й степени:
$x^6 + a \cdot x^5 + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + d \cdot x^2 + f \cdot x + g = 0$ ,
Как тут подстановкой другого выражения, "избавиться" от члена $a \cdot x^5 $ ,
это очевидно.

Кто то знает, как избавиться от всех 5-ти коэффициентов (и 4-х членов), чтобы получилось уравнение с неким $y$ , такое что:

$y^6 + y + h = 0$ ?

И тогда вычислив это $y$ , и подставив в некую большую формулу где могут быть арифметические
выражения с этим $y$ (+ - * /), и некие функции куда это $y$ входит (выражения с радикалами, а то и вовсе
логарифмические, тригонометрические и другие функции),
мы тем самым получим общую формулу для исходного $x$ ?

тогда получается вектор из 5-ти вещественных параметров-коэффициентов единственным образом
отображается на одно вещественное число:

{$a, b, c , d, f, g$} $\to$ $h$ ,

и таким образом мы можем получить формулу с известными вычислимыми функциями для решения
всех уравнений 6-й степени, а вместе с ней и всех степеней ниже?

Если это так, то очень интересно. Формула- просто клад для математики.

-- Чт апр 17, 2025 14:44:13 --

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Но вот минимальное сведение произвольного уравнения 7-й степени - это либо трином с двумя параметрами (например $x^7+ax+b=0$), либо квадрином тоже с двумя параметрами (например $x^7+ax^2+bx+1=0$). А два параметра по формулам Меллина означает двойное суммирование/интегрирование. Формулы Меллина "математически точны" вообще для любого произвольного алгебраического уравнения, сколько параметров в уравнении - столько и вложенных сумм в формуле Меллина. Но вот любая попытка практически проверить формулы Меллина с хотя бы двойным суммированием приводит к расходящимся вычислениям.

Значит практически применима, общая формула, максимум- для уравнений 6-й степени ?
То есть, все уравнения до 4-й степени разрешимы в радикалах,
а ещё все 5-й и 6-й степени разрешимы не в радикалах, так в неких других функциях, с существующей некой общей формулой, зависящей от коэффициентов уравнения.

Правильно ли я тут всё понял, если правильно, то было бы интересно изучить всю эту тему..

[Евгений Машеров]

B@R5uk в сообщении #1441399 писал(а):

Есть ещё метод Штурма.

(Оффтоп)

Герои штурма Лиувилля

Но это действительно в сторону, это численное решение, а не "в замкнутом виде".

[Евгений Машеров]

novichok2018 в сообщении #1440968 писал(а):

У Лахтина есть и книги по теме, цитируются в книге Соловьёва. Никто их никогда не видел, вот бы их отсканировали, у кого есть доступ.

Если кинете библиоссылку - попробую сделать заявку на сканирование...

[Skipper]

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Любое произвольное уравнение 5-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому $x^5+x+a=0$. А любой трином произвольной степени с одним параметром решается по формулам Меллина/Лагранжа при помощи одного суммирования/интегрирования - математически точно и практически проверяемо.

Сегодня прочитал, что это возможно. Тогда аналогичными преобразованиями, любое уравнение 4-й степени,
сводится к уравнению типа,
$x^4+x+a=0$
ну это ещё ладно. Интересно то, что избавиться как мне кажется, возможно и от других ("промежуточных", то есть от $x^4$ и $a$ избавиться нельзя) членов многочлена,
в частности, свести уравнение к типу
$x^4+x^2+a=0$ (да хоть и к типу $x^4+bx^2+a=0$ )
и получить легко решаемое, би-квадратное уравнение! Только в случае всех 4-х вещественных корней,
там должны получаться радикалы с комплексными значениями, точнее- корни квадратные из отрицательных
чисел. Но в принципе, парадокса от сведения уравнения 4-й степени к уравнению по сути, 2-й степени,
точнее, биквадратному, не возникает. Ведь уравнение 4-й степени в любом случае решается в радикалах,
с комплексными значениями.

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Любое произвольное уравнение 5-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому $x^5+x+a=0$.

Тут тоже, от каких бы мы ни избавились промежуточных слагаемых, проблем не возникает.

Но,

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Произвольное уравнение 6-й степени тоже вроде бы сводимо к триному с одним параметром.

вот тут реально кажется это парадоксальным.
Если это так, то избавиться мы можем от таких промежуточных членов, чтобы получилось
триквадратное (или бикубическое) уравнение, а они станут разрешимыми в радикалах.
Что опровергнуто теоремой Абеля. Потому хотелось бы именно почитать, как действительно,
сводится уравнение 6-й степени, к триному с одним параметром. (да хоть с двумя),

[пианист]

Skipper в сообщении #1684387 писал(а):

да хоть с двумя

Вроде, свести к уравнению с двумя параметрами можно.
Детали тут: https://eudml.org/doc/182637

[Skipper]

Интуитивно догадываюсь, что
любое произвольное уравнение 6-й степени можно преобразованиями свести к триному с параметрами, к такому типу :
$x^6+bx+a=0$ ,
и для этого придётся решать систему уравнений для нахождения преобразующих коэффициентов,
такую, которая потребует максимум, решения уравнения 4-й степени.

Но чтобы произвольное уравнение 6-й степени можно было преобразованиями свести к триному с параметрами, к такому типу :
$x^6+cx^2+a=0$ , (и вместе с тем получить би-кубическое уравнение решаемое в радикалах),
то для этого придётся решать систему уравнений для нахождения преобразующих коэффициентов,
такую, которая потребует максимум, решения уравнения 5-й степени.
Которое как раз и не решается в радикалах.

Доказать я сейчас как раз и не могу, но было бы интересно. Это просто "интуитивное" наблюдение,
в первом случае мы избавляемся от членов с 5-й, 4,3,2-й степенями. А во втором случае- с 5-й, 4,3,1-й степенями.
"Разброс" в 5 степеней получается.

[пианист]

пианист в сообщении #1684397 писал(а):

Детали тут: https://eudml.org/doc/182637

В сети есть русский перевод, если что, в сборнике https://www.koob.ru/gilbert_david/d_gil ... _trudy_2_t

[Skipper]

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Но вот минимальное сведение произвольного
уравнения 7-й степени - это либо трином с двумя параметрами (например $x^7+ax+b=0$), либо квадрином тоже
с двумя параметрами (например $x^7+ax^2+bx+1=0$).

Наверное все таки сводится к этому типу: $x^7+ax^2+bx+1=0$ .
Потому что если бы любое уравнение сводилось бы к такому типу: $x^7+ax+b=0$ ,
то сводилось бы и к типу $x^7+x+t=0$ .
По той же системе, как и уравнение $x^5+ax+b=0$ , сводится к типу $x^5+x+t=0$ .

Да и тут по ссылке

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

познавательная статья более 100-летней давности
на эту тему Л. Лахтинъ. Выраженiе корней трехчленнаго алгебраическаго уравненiя посредствомъ опредѣленныхъ интеграловъ (1890)
.

на странице 62 написано-
Всякое трехчленное алгебраическое уравнение весьма простой подстановкой может быть приведено к виду (я для удобства символы изменил на привычные):
$x^m-ax^n - 1=0$ ,
то есть проще говоря, триномы с двумя параметрами сводятся к триномам с одним параметром.
Об этом и в википедии (см. "Корень Бринга") написано примерно следующее: если нужно решить уравнение:
$x^5 + ux + v = 0 $
положим
$z = x / (-u/5)^{1/4}$ ,
придём к форме
$x^5 - 5x - 4t = 0 $,
значит если мы умеем решать уравнения с одним параметром типа $x^5+x+t=0$
то решим и уравнение с одним параметром типа $x^5 - 5x - 4t = 0 $,

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

Любое произвольное уравнение 5-й степени
можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому $x^5+x+a=0$.

Да, и для этого нужно решить систему, при решении которой нужно будет решать уравнения максимум, 3-й степени.
Об этом читал в какой то книге. Привеля его к типу $x^5+x+a=0$ мы решим последнее,
в радикалах и ультрарадикалах "корень Бринга".

По той же логике, похоже что,
Любое произвольное уравнение 6-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, к такому $x^6+x+a=0$.
Только как решать последнее, нигде не написано. Скорее всего тоже будет какой то аналог "корня Бринга", только
для 6-х степеней, и тоже будет задаваться сходящимся рядом.
А чтобы свести так, из-за того что разброс степеней на 1 больше, то придётся решать систему,
при решении которой нужно будет решать уравнения максимум, 4-й степени. (то есть всё решается в радикалах).

Но самое интересное тут в том, что вроде бы,
Любое произвольное уравнение 6-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, к такому $x^5+x+a=0$ !

И корень Бринга будет использоваться исследованный, и более простой, для 5-х степеней.
Как? А мы сведём произвольное уравнение 6-й степени, к такому типу -
$x^6+cx^4 + bx^2 +a=0$ ,
последнее, как би-кубическое уравнение просто решится в радикалах.
Но поскольку мы избавляемся от членов со степенями 1,3,5, то у нас "разброс степеней" ещё на 1 больше,
значит придётся решать систему, при решении которой нужно будет решать уравнения максимум, 5-й степени.

Получается, что для решения уравнения 5-й степени мы сводим уравнение к более простому 5-й степени,
для сведения решали более простые уравнения в радикалах, а сведенное- уже с помощью корней Бринга.

А для уравнения 6-й степени, НАОБОРОТ, мы сводим уравнение к более простому 6-й степени,
и уже для того чтобы так свести - решаем систему, с уравнением 5-й степени, с помощью корней Бринга.
А сведенное- наоборот решаем в радикалах, как би-кубическое уравнение.

Исхожу из того, что верно следующее:

dmd в сообщении #1440823 писал(а):

два параметра по формулам Меллина означает
двойное суммирование/интегрирование. Формулы Меллина "математически точны" вообще для любого произвольного алгебраического уравнения,
сколько параметров в уравнении - столько и вложенных сумм в формуле Меллина. Но вот любая попытка практически проверить формулы Меллина
с хотя бы двойным суммированием приводит к расходящимся вычислениям

и уравнение 7-й степени никак нельзя свести к триному с одним параметром, (а значит и с двумя, потому что
те которые с двумя- сводятся к тем которые с одним).
Потому я сделал вывод, что самое простое, к чему можно свести уравнение 7-й степени, это
$x^7+ax^2+bx+1=0$ .
Попытка же его свести к уравнению 8-й степени, которое би-уравнение-4-й степени, (чтобы оно решалось в радикалах),
приведёт к тому что надо избавляться от членов со степенями от 1 до 7-й, и потребует решения уравнения 7-й степени.
(так как "разброс степеней" 7), так что упрощения тут никакого быть не может.

Ну и поскольку, значит, уравнение 7-й степени, не сводится к триному с одним параметром, и
"сколько параметров в уравнении - столько и вложенных сумм в формуле Меллина. Но вот любая попытка
практически проверить формулы Меллина с хотя бы двойным суммированием приводит к расходящимся вычислениям" ,

практически применима, общая формула, максимум- для уравнений 6-й степени..
То есть, все уравнения до 4-й степени разрешимы в радикалах,
а ещё все 5-й и 6-й степени разрешимы не в радикалах, так в неких других функциях, с существующей некой общей
формулой, зависящей от коэффициентов уравнения. Точнее- в радикалах и ультрарадикалах "корень Бринга".
А уравнение 7-й степени, это уравнение с самой малой степенью, которое практически
какой то общей формулой не решается. (можно решить уже только "численными методами"),

Я думаю взять, конкретно какое нибудь уравнение 6-й степени, произвольное, с неразлагающимся многочленом
на произведения более простых, с меньшими степенями, многочленов, и решить его, проведя все эти подстановки,
сведения к более простым уравнениям, и перепроверить на калькуляторе с большой точностью, скажем,
до 15 знаков после запятой.
Если это удасться сделать, то я на практике смогу показать, что любое уравнение 6-й степени тоже,
решается в радикалах и ультрарадикалах "корень Бринга" для 5-й степени.
Наверное и на форум тогда подробно распишу путь решения,