Любое произвольное уравнение 5-й степени можно преобразованиями Чирнгауза и Бринга свести к триному с одним параметром, например к такому
. А любой трином произвольной степени с одним параметром решается по формулам Меллина/Лагранжа при помощи одного суммирования/интегрирования - математически точно и практически проверяемо.
Очень познавательная статья более 100-летней давности на эту тему
Л. Лахтинъ. Выраженiе корней трехчленнаго алгебраическаго уравненiя посредствомъ опредѣленныхъ интеграловъ (1890).
Практическая проверка формулы из этой статьи в Вольфраматике:
Код:
a = RandomInteger[{-48, 48}]; m = RandomInteger[{3, 48}]; n = RandomInteger[{1, m - 2}];
Print["\nEquation: z^", m, If[a > 0, " - ", " + "], Abs[a], "*z^", n, " - 1 = 0\n"];
Print["Ordinary solution:"];
Print[z /. (z^m - a z^n - 1 // NSolve) // Sort, "\n"];
Print["Solution with definite integration:"];
S = Table[
Exp[2 j Pi I/m] +
1/(2 Pi I) (Exp[(2 j + 1) Pi I/m]*NIntegrate[Log[1 + a t^n/(1 + t^m) Exp[(2 j + 1) Pi I n/m]], {t, 0, Infinity}, MaxRecursion -> 200] -
Exp[(2 j - 1) Pi I/m]*NIntegrate[Log[1 + a t^n/(1 + t^m) Exp[(2 j - 1) Pi I n/m]], {t, 0, Infinity}, MaxRecursion -> 200]),
{j, 0, m - 1}
];
Print[S // Sort];
Произвольное уравнение 6-й степени тоже вроде бы сводимо к триному с одним параметром. Но вот минимальное сведение произвольного уравнения 7-й степени - это либо трином с двумя параметрами (например
), либо квадрином тоже с двумя параметрами (например
). А два параметра по формулам Меллина означает двойное суммирование/интегрирование. Формулы Меллина "математически точны" вообще для любого произвольного алгебраического уравнения, сколько параметров в уравнении - столько и вложенных сумм в формуле Меллина. Но вот любая попытка практически проверить формулы Меллина с хотя бы двойным суммированием приводит к расходящимся вычислениям.
