Преподавание линейной алгебры

[Alex-Yu]

Ende
Выделено из темы «Еще раз о колмогоровской реформе»

мат-ламер в сообщении #1684648 писал(а):

Мне вот что странно. В начале 60-х годов (может и раньше) АПН выпустила многотомную детскую энциклопедию. И в её написании принимали участие многие реформаторы - академики и член-коры АПН - Маркушевич, Виленкин, Болтянский, П.С.Александров ... И что характерно, написана таким простым понятным языком, что просто зачитываешься. В своё время и ей зачитывался. Так и из этой энциклопедии стало понятно, что вообще это за наука - геометрия и для чего она нужна. А открываешь учебник - определение, теорема, доказательство, определение, теорема, доказательство ... Не то, чтобы это непонятно, а тут непонятно глобально - это всё к чему?

Не помню точно кто, но кажется Фейнман, когда-то написал:"нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем та клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, которую порождают чистые математики". А я бы еще добавил: и чистые теоретики от педагогики (практики, впрочем, тоже зачастую). Я даже и теперь, с весьма приличным багажом за плечами, такое терпеть могу только по необходимости и с большим трудом. Сначала скажите зачем это все, мотивировку дайте! Потом уже определения и пр. Вообще, в т.ч. в математике, учебное изложение, credo!, должно быть итерационным. Сначала очень неформальным, потом немножко формальнее, потом... И т.д. А "Детская энциклопедия" у меня в детстве была. Зачитывался ей до дыр (в буквальном смысле!). Прочтение многие десятки раз.

-- Пт май 02, 2025 00:11:35 --

мат-ламер в сообщении #1684648 писал(а):

Возможно это мода и традиция - писать учебники именно в таком стиле.

Может мода и традиция, но важнее другое: это постановка патологических целей ("чтобы отвечали правильно", "чтобы ЕГЭ сдали" и т.д.; вот недавно в соседней теме было очень характерно: "чтобы амперы получились точно", и на кой черт бы те точные амперы нужны были...). При дурацких целях и средства бывают только дурацкие. Без вариантов.

Хорошо помню, как на первом курсе лектор меня просто "убил" определением матрицы (это таблицы) и правилом перемножения матриц. И на кой ляд эти таблицы и почему у них такие идиотские правила перемножения? ? ? А что, нельзя было сначала ввести понятие линейного однородного преобразования, привести примеры таких преобразований (те же вращения, в технике просто масса примеров). И тогда легко показать, что в представлении некого базиса получатся такие таблицы как раз с таким правилом умножения, понимаемом как композиция преобразований. Все просто и понятно. А детерминант чего стоит... Нельзя что ли было сказать, что это множитель, показывающий, как изменяется объем при таком преобразовании? ? ? И дальше опять все просто и понятно. Было бы. Если бы преподаватель ставил бы цели не идиотские.

[talash]

Согласен с предыдущими ораторами мат-ламер и Alex-Yu
Хороший учебный курс должен давать мотивацию для изучения математики. Сначала мотивация, потом материал. И в идеале, чтобы из одной только мотивации способный ученик мог сам предложить продолжение математического курса. То есть, чтобы он мог предсказывать, что будет дальше в плане математики. Это сильно вдохновит будущего исследователя, если можешь предсказывать правильное решение, значит глубоко понимаешь основания на которых строится математика и способен сам из них её построить.

[Mihr]

talash в сообщении #1684670 писал(а):

Сначала мотивация, потом материал.

Это, конечно, идеальная схема, вот только реализовать её чаще всего практически невозможно. Иногда даже невозможно в начале изложения нового курса корректно объяснить, в чём его предмет. Например, Д.В. Беклемишев в начале своего "Курса аналитической геометрии и линейной алгебры" лишь приблизительно поясняет читателю, чем ему предстоит заниматься. А уже после того, как введено понятие линейного пространства (где-то ближе к середине учебника), сообщает: теперь мы можем ясно сказать, в чём предмет нашего курса. Линейная алгебра - это теория линейных пространств.

talash в сообщении #1684670 писал(а):

И в идеале, чтобы из одной только мотивации способный ученик мог сам предложить продолжение математического курса.

Вы можете вообразить лектора, который не излагает матанализ, а лишь пытается всячески "подтолкнуть" аудиторию к самостоятельному "изобретению" дифференциального и интегрального исчислений? Лично я - не могу.
Так это лишь первый курс! А проделывать нечто подобное на втором, третьем курсах? Нереально.

Alex-Yu в сообщении #1684649 писал(а):

Вообще, в т.ч. в математике, учебное изложение, credo!, должно быть итерационным.

С этим полностью согласен. Однако последовательность обучения учебник отражать может лишь в общих чертах, но не в деталях. Характер и последовательность итераций для разных читателей будут весьма различны. А учебник пишется не для одного конкретного читателя. И он не может быть непоследовательным. Напротив, должен быть стройным и логичным. Итерации читатель выстраивает сам, иногда заглядывая в книгу дальше, а зачастую возвращаясь к уже прочитанному. И едва ли найдутся два читателя, личные "траектории" которых в этом процессе окажутся одинаковыми.

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1684681 писал(а):

Это, конечно, идеальная схема, вот только реализовать её чаще всего практически невозможно. Иногда даже невозможно в начале изложения нового курса корректно объяснить, в чём его предмет. Например, Д.В. Беклемишев в начале своего "Курса аналитической геометрии и линейной алгебры" лишь приблизительно поясняет читателю, чем ему предстоит заниматься. А уже после того, как введено понятие линейного пространства (где-то ближе к середине учебника), сообщает: теперь мы можем ясно сказать, в чём предмет нашего курса. Линейная алгебра - это теория линейных пространств.

Это если курс для математиков читается. А если для прикладников, то мотивацию дать очень легко: нужно в общих чертах рассказать несколько real-world задач (таких, чтобы формулировку можно было понять сразу), которые можно будет решить, построив теорию.

[Mihr]

Dedekind в сообщении #1684682 писал(а):

Это если курс для математиков читается.

Отнюдь. Свой курс Д.В. Беклемишев читал для физиков (студентов МФТИ).

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1684684 писал(а):

Отнюдь. Свой курс Д.В. Беклемишев читал для физиков (студентов МФТИ).

Тогда это очень странно. Что мешало ему привести примеры реальных физических задач, которые без линейной алгебры не решаются (или решаются очень сложно), а с ней - значительно упрощаются?

-- 02.05.2025, 06:04 --

Например, как это сделано в David Lay, Steven Lay, Judi McDonald – Linear Algebra and Its Applications (2021). Там каждая глава предваряется real-world задачей/задачами, где применяется материал этой главы. Этот учебник не только для физиков, поэтому задачи там разные, но я имею в виду сам подход.

[F111mon]

Если говорить о мотивировке изучения линейной алгебры как предмета, то, по-моему, он в нем нуждается. Линейная алгебра - способ работы с большим количеством переменных.
Что у нас сейчас в тренде - языковые модели? Если рассуждать грубо, то в этих моделях переменные - это все слова словаря.
Современное аудио-видео. Какой объем информации нужен, чтобы записать изображение "попиксельно" и "покадрово"? И почему jpg формат требует намного меньше?
Электрическая сеть: сотни потребителей. Если мы хотим понимать физические процессы, происходящие в ней, нам нужно собирать информацию с сотен точек учета.
Если мы не изобретем способ работать с таким количеством переменных как с единым целым, у нас не хватит времени даже, чтобы перечислить их, не говоря уже о какой-то обработке.

Более узкий вопрос - как мотивировать понятия матрицы и определителя: предложенный Вами способ я считаю неудачным, для связи с преобразованиями нужно много знать, это не тема для первого занятия.
Матрицы мотивируются системами линейных уравнений.
Определители - или теми же линейными уравнениями (2*2 решаем в общем виде), или векторным произведением (а его - геометрическими задачами)

[Alex-Yu]

Mihr в сообщении #1684681 писал(а):

Вы можете вообразить лектора, который не излагает матанализ, а лишь пытается всячески "подтолкнуть" аудиторию к самостоятельному "изобретению" дифференциального и интегрального исчислений? Лично я - не могу.
Так это лишь первый курс! А проделывать нечто подобное на втором, третьем курсах? Нереально.

Реально, не реально, но цель должна быть именно такая. Конечно, эта цель идеальная, во всей полноте недостижимая, но элементы такого достижимы вполне. Без этого образование превращается в производство безмозглых послушных недоумков. Впрочем, социальный заказ на таких недоумков очень даже имеется. Помнится, несколько лет даже нобелевскую премию (по экономике, которую А Нобель не учреждал) дали за цикл работ под общим названием "Управление поведением покупателей". Более омерзительный цикл работ даже представить себе трудно! И если бы наблюдения за окружающей социальной действительностью ограничивались только этим мерзким циклом работ...

-- Пт май 02, 2025 13:16:44 --

F111mon в сообщении #1684705 писал(а):

Матрицы мотивируются системами линейных уравнений.

Хотел бы я знать как через СЛАУ мотивировать закон умножения матриц Что же до преобразований... Да почти ничего там предварительно знать не нужно! Если не стремиться к предельной строгости и общности, которая начинающему на фиг не нужна (это потом, а для многих специальностей вообще никогда). Ах, как много нужно предварительно знать, чтобы понять, что такое, к примеру, вращение. Особенно если это вращение на плоскости

-- Пт май 02, 2025 13:36:43 --

Mihr в сообщении #1684681 писал(а):

А уже после того, как введено понятие линейного пространства (где-то ближе к середине учебника),

Какой кошмарный кошмар... Вместо того, чтобы с этого начать, только в середине учебника...

-- Пт май 02, 2025 13:41:40 --

Mihr в сообщении #1684684 писал(а):

. Свой курс Д.В. Беклемишев читал для физиков

Вы, видимо, отождествляете этого Беклешемишева с Г Богом. Ну, если так... Кстати, а хоть чем-нибудь кроме чтения курсов этот самый Беклишмишев известен? Подозреваю, что нет. И если действительно так (не известен), то в топку его учебники! Даже не читая эти учебники, сразу! "Чистых педагогов", педагогов и только педагогов, во всяком случае в вузах, быть не должно вообще! В школах такое, конечно, не возможно, там педагоги и только педагоги. К сожалению, по социальным причинам. Учить, и уж по меньшей мере устанавливать цели и программы обучения должны люди, умеющие хоть что-то кроме болтовни. А у педагогов жизнь такая: состоящая из болтовни и только из болтовни. И ничего с этим печальным фактом сделать нельзя при массовом образовании. Педагоги устанавливать разумные цели и программы обучения не способны в принципе, в силу особенностей своей профессии! Это так же как с военными: ни в коем случае нельзя, чтобы военные сами определяли с кем им воевать, а с кем не воевать. Если дать им волю, то они такого навоюют... С тем, с кем им удобнее воевать и так, как опять же им удобнее...

[Alex-Yu]

Посмотрел кто такой Д.В. Беклемишев . Даже в википедии оказывается есть. Так он доктор педагогических наук! Ну, все тогда понятно, все встало на свои места. В топку его учебники, без вариантов в топку!

[Red_Herring]

Мне гораздо ближе "физико-геометрический" подход, но есть ряд специальностей для которых этот подход неочевиден (например, финансисты и инженеры электрики).

Говоря об американских учебниках следует иметь в виду особенность американской и канадской системы университетского образования. В типичном университете примерно половина студентов учится на факультете "Артс & Сайенс", и там вместе физики, химики, биологи, финансисты,... (но не инженеры) и для всех них (кроме математиков и то с оговорками) общий курс той же линейной алгебры или ОДУ, или УЧП, или ТФКП (многие финансисты берут его просто потому, что им надо поступить на мастерскую программу и по общему мнению, которое вовсе необязательно справедливо, успешно взятый курс третьего года по математике и рекомендация профессора очень способствуют. Там есть одно УЧП (Блэк-Шолес)).

[dsge]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1684709 писал(а):

Помнится, несколько лет даже нобелевскую премию (по экономике, которую А Нобель не учреждал) дали за цикл работ под общим названием "Управление поведением покупателей".

Может быть я что-то пропустил. Не могли добавить деталей?
С другой стороны, нобелевские премии по экономики становятся все более политизируемыми, и тематика и качество работ, за которые даются эти премии, в самом деле деградируют каждый год. Прошлый год был, пожалуй, наихудший.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

Цитата:

Alex-Yu в сообщении #1684709 писал(а):
Помнится, несколько лет даже нобелевскую премию (по экономике, которую А Нобель не учреждал) дали за цикл работ под общим названием "Управление поведением покупателей".

Может быть я что-то пропустил. Не могли добавить деталей?
С другой стороны, нобелевские премии по экономики становятся все более политизируемыми, и тематика и качество работ, за которые даются эти премии, в самом деле деградируют каждый год. Прошлый год был, пожалуй, наихудший.

Я не представляю себе, какие тут еще нужны подробности. Название говорит само за себя.

А вот что я бы хотел всячески подчеркнуть, то это то, что речь ни в коем случае не о качестве этих работ. А о самом их содержании, о цели этих работ. Можно очень качественно выполнить крайне омерзительную работу, и качество ее выполнения никак не отменит омерзительность самой этой работы. Банальный пример: наемный убийца может быть высоким профессионалом в своей работе, выполнять эту работу очень умело и качественно. И все равно это будет мерзость. Увы, аналогия с наемным убийцей очень часто приходит мне в голову, когда я слышу или читаю профессиональных педагогов. Они рассуждают о том, как наиболее качественно и успешно сделать те, зачастую, мерзости, которые они делают (не всегда, но бывает).

[dsge]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1684728 писал(а):

Название говорит само за себя.

Откуда вы взяли такое название?

Alex-Yu в сообщении #1684728 писал(а):

что речь ни в коем случае не о качестве этих работ. А о самом их содержании, о цели этих работ.

Поверьте, качество там тоже неважное.

[Mihr]

Alex-Yu в сообщении #1684709 писал(а):

Вы, видимо, отождествляете этого Беклешемишева с Г Богом.

Даже комментировать нет желания. Неужели нет у Вас нормальных аргументов? Я знаю, что Вы - отличный специалист, и многие Ваши посты читаю с интересом. Но Вашу запальчивость - будь она к месту или не к месту - не понимаю. Всё ведь можно объяснить нормальным языком. Без лишних восклицательных знаков. И без словечек типа "мерзость", "убийство" и т.п.

Alex-Yu в сообщении #1684716 писал(а):

Посмотрел кто такой Д.В. Беклемишев . Даже в википедии оказывается есть. Так он доктор педагогических наук! Ну, все тогда понятно, все встало на свои места. В топку его учебники, без вариантов в топку!

Его основной учебник "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" переиздавался уже множество раз. В течение более чем полувека. Что говорит, как минимум, о неплохом качестве учебника. (Есть у Д.В. и другие книги, например, "Дополнительные главы линейной алгебры"). Сам Дмитрий Владимирович - выпускник мехмата МГУ. Его супруга Л.А. Беклемишева (кстати, дочь академика А.И. Мальцева) - доктор физико-математических наук - один из соавторов "Сборника задач по аналитической геометрии и линейной алгебре". А Д.В. - редактор этого сборника. Этот сборник Вы тоже "отправите в топку", даже не заглядывая внутрь? Думаю, вполне можно допустить, что многое и в учебниках, и в задачнике было создано супругами сообща. Впрочем, дело, конечно, и не в этом. А в том, что прежде чем судить об учебнике, его неплохо хотя бы открыть.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1684729 писал(а):

Поверьте, качество там тоже неважное.

Это абсолютно все равно какое там качество. Впрочем, нет, как раз плохое качество это хорошо. Плохо сделанная мерзость это все же немного лучше, чем хорошо сделанная мерзость.

-- Пт май 02, 2025 19:26:56 --

Mihr в сообщении #1684734 писал(а):

его неплохо хотя бы открыть.

НЕ обязательно. Того, что Вы об этом учебнике сказали, достаточно. Если в учебнике по линалгебре линейное пространство появляется лишь в середине, то в топку.