Ошибка или опечатка?

[ihq.pl]

В том же параграфе (§13, гл. III) в пункте 2 определяются эмпирическая функция распределения

$$F_N(x;\omega) = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^NI(\xi_k(\omega)\leqslant x),\quad x\in R$$

и величина

$$D_N(\omega) = \sup_{x\in R} |F_N(x;\omega)-F(x)|$$

($\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность н.о.р. случайных величин, $F(x) = \mathsf{P}(\xi_k\leqslant x)$).

В пункте 3 доказывается, что если $F(x)$ непрерывна, то $\mathsf{P}$-п.н.

$$D_N(\omega) = \sup_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|,$$

где $U_N(y;\omega)$ - эмпирическая функция распределения н.о.р. случайных величин $\eta_k$, имеющих равномерное (U=U(y)) распределение на $[0,1]$. А в пункте 4 величина $D_N(\omega)$ записывается уже так:

$$D_N(\omega) = \max_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|.\eqno{(10)}$$

Вопросы:
1) Почему вдруг максимум вместо супремума? Ведь функция $g(y) = |U_N(y;\omega)-y|$ имеет разрывы.

2) В учебнике утверждается, что

$$D_N(\omega) = \max_{k\leqslant N}\Bigl|\frac{k}{N}-\eta_k^{(N)}(\omega)\Bigr|,\eqno{(11)}$$

где $\eta_k^{(N)}$ - порядковые статистики, т.е. $\eta_1^{(N)}(\omega) = \min\limits_k \eta_k(\omega)$ и т.д. по возрастающей. Разве не

$$D_N(\omega) = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|\Bigr\}$$

(в точке скачка функция $g(y+0)\ne g(y-0)$)?

[Combat Zone]

ihq.pl в сообщении #1684304 писал(а):

записывается уже так:

$$D_N(\omega) = \max_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|.\eqno{(10)}$$

Вопросы:
1) Почему вдруг максимум вместо супремума? Ведь функция $g(y) = |U_N(y;\omega)-y|$ имеет разрывы.

2) В учебнике утверждается, что

$$D_N(\omega) = \max_{k\leqslant N}\Bigl|\frac{k}{N}-\eta_k^{(N)}(\omega)\Bigr|,\eqno{(11)}$$

где $\eta_k^{(N)}$ - порядковые статистики, т.е. $\eta_1^{(N)}(\omega) = \min\limits_k \eta_k(\omega)$ и т.д. по возрастающей. Разве не

$$D_N(\omega) = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|\Bigr\}$$

(в точке скачка функция $g(y+0)\ne g(y-0)$)?

$\eta_k(\omega)$ -- случайная величина, реализация которой может быть ближе как к $(k-1)/N$, так и к $k/N$. И потому для нужд практики, пожалуй, удобнее пользоваться последней статистикой. От омега она зависеть не будет, это реализация.

А в теории подставляете порядковую статитстику в (10), аккуратно считаете, получаете именно (11). Это случайная величина, в отличие от ее реализации

$$D_N = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - x_{k+1}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - x_{k+1}\Bigr|\Bigr\}$$

.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1684408 писал(а):

Это случайная величина, в отличие от ее реализации

.. всё, отдых!
Спасибо за Ваше терпение)

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, параграф 13 (Фундаментальные теоремы мат. статистики), теорема Гливенко и Кантелли.
Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - независимые одинаково распределенные с.в.; $F(x)$ - ф-я распределения с.в. $\xi_k$,

$$F_n(x;\omega) =\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nI(\xi_k(\omega) \leqslant x).$$

Тогда с вероятностью единица

$$\sup_{x\in R}|F_n(x;\omega) - F(x)| \to 0, \quad n\to\infty$$

(дальше вместо $F_n(x;\omega)$ просто $F_n(x)$).

Начало доказательства. Орезок $[0,1]$ (область значений ф-ии распределения) разбивается точками $k/M, k=1,..,M-1$; на оси $x$ определяется последовательность точек: $x_0=-\infty, x_M=\infty$, а для $0<k<M$

$$x_k = \min\{x: k/M\leqslant F(x)\}.$$

Пусть $[x_k,x_{k+1})\ne\varnothing$. Тогда для $x\in[x_k,x_{k+1})$

$$F_n(x)-F(x)\leqslant F_n(x_{k+1}-0)-F(x_k) =$$

$$= F_n(x_{k+1}-0) - F(x_{k+1}-0) + F(x_{k+1}-0)- F(x_k) \leqslant F_n(x_{k+1}-0) - F(x_{k+1}-0) + 1/M.$$

В последнем неравенстве очевидно предполагается, что $F(x_{k+1}-0)- F(x_k) \leqslant 1/M$. Но это ж вообще говоря не так... вроде. И тогда всё доказательство теоремы неверное.

[mihaild]

$F(x_k) \geq k/m$, $F(x_{k+1} - 0) \leq (k+1)/m$

[ihq.pl]

mihaild
Спасибо!