2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение29.04.2025, 12:08 


18/05/15
789
В том же параграфе (§13, гл. III) в пункте 2 определяются эмпирическая функция распределения $$F_N(x;\omega) = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^NI(\xi_k(\omega)\leqslant x),\quad x\in R$$ и величина $$D_N(\omega) = \sup_{x\in R} |F_N(x;\omega)-F(x)|$$ ($\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность н.о.р. случайных величин, $F(x) = \mathsf{P}(\xi_k\leqslant x)$).

В пункте 3 доказывается, что если $F(x)$ непрерывна, то $\mathsf{P}$-п.н. $$D_N(\omega) = \sup_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|,$$ где $U_N(y;\omega)$ - эмпирическая функция распределения н.о.р. случайных величин $\eta_k$, имеющих равномерное (U=U(y)) распределение на $[0,1]$. А в пункте 4 величина $D_N(\omega)$ записывается уже так: $$D_N(\omega) = \max_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|.\eqno{(10)}$$

Вопросы:
1) Почему вдруг максимум вместо супремума? Ведь функция $g(y) = |U_N(y;\omega)-y|$ имеет разрывы.

2) В учебнике утверждается, что $$D_N(\omega) = \max_{k\leqslant N}\Bigl|\frac{k}{N}-\eta_k^{(N)}(\omega)\Bigr|,\eqno{(11)}$$
где $\eta_k^{(N)}$ - порядковые статистики, т.е. $\eta_1^{(N)}(\omega) = \min\limits_k \eta_k(\omega)$ и т.д. по возрастающей. Разве не $$D_N(\omega) = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|\Bigr\}$$ (в точке скачка функция $g(y+0)\ne g(y-0)$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение30.04.2025, 01:53 
Аватара пользователя


22/11/22
835
ihq.pl в сообщении #1684304 писал(а):
записывается уже так: $$D_N(\omega) = \max_{y\in [0,1]} |U_N(y;\omega)-y|.\eqno{(10)}$$

Вопросы:
1) Почему вдруг максимум вместо супремума? Ведь функция $g(y) = |U_N(y;\omega)-y|$ имеет разрывы.

2) В учебнике утверждается, что $$D_N(\omega) = \max_{k\leqslant N}\Bigl|\frac{k}{N}-\eta_k^{(N)}(\omega)\Bigr|,\eqno{(11)}$$
где $\eta_k^{(N)}$ - порядковые статистики, т.е. $\eta_1^{(N)}(\omega) = \min\limits_k \eta_k(\omega)$ и т.д. по возрастающей. Разве не $$D_N(\omega) = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - \eta_{k+1}^{(N)}\Bigr|\Bigr\}$$ (в точке скачка функция $g(y+0)\ne g(y-0)$)?

$\eta_k(\omega)$ -- случайная величина, реализация которой может быть ближе как к $(k-1)/N$, так и к $k/N$. И потому для нужд практики, пожалуй, удобнее пользоваться последней статистикой. От омега она зависеть не будет, это реализация.

А в теории подставляете порядковую статитстику в (10), аккуратно считаете, получаете именно (11). Это случайная величина, в отличие от ее реализации $$D_N = \max_{k<N}\Bigl\{\Bigl|\frac{k}{N} - x_{k+1}\Bigr|, \Bigl|\frac{k+1}{N} - x_{k+1}\Bigr|\Bigr\}$$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение30.04.2025, 10:18 


18/05/15
789
Combat Zone в сообщении #1684408 писал(а):
Это случайная величина, в отличие от ее реализации

:D .. всё, отдых!
Спасибо за Ваше терпение)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group