Ошибка или опечатка?

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, гл. 3, §4. Пункт 4 начинается со слов: Поскольку

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \varepsilon^2 + \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)],\qquad (1)$$

то ясно, что из условия Линдеберга вытекает, что

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \to 0,\quad n\to\infty.$$

В (1) $\xi_{nj}$ - случайные величины с конечным вторым моментом; $I(A)$ - индикатор множества $A$; $n$ любое натуральное число, и $\varepsilon>0$. Можно также предположить, что $\mathsf{D}\xi_{n1} +... + \mathsf{D}\xi_{nn} = 1$.

Попытка доказать (1):

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)]) \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)] + \varepsilon^2\sum_{j=1}^n\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon).$$

Но сумма вероятностей $\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon)$ может быть больше единицы и, вообще говоря, может расти вместе с $n$. То есть доказывать надо по-другому. Опечатку или ошибку в самом учебнике тоже не исключаю. Принципиальной роли это не играет, просто любопытно. Заранее благодарю за ответ.

[mihaild]

У Вас слева мат. ожидание потерялось, без него это неравенство совсем уж странное.

Вы слишком амбициозно сразу перешли к сумме. Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1681689 писал(а):

Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

А что значит разбить на две части соответствующее ожидание? Допустим, максимум достигается при $j=n$. Соответствующее ожидание - это матожидание $\mathsf{E}\xi_{nn}^2$ ?

-- 10.04.2025, 21:31 --

mihaild в сообщении #1681689 писал(а):

У Вас слева мат. ожидание потерялось

Да, точно. Автоматически использовал свои макросы. Спасибо.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1681693 писал(а):

А что значит разбить на две части соответствующее ожидание?

ihq.pl в сообщении #1681687 писал(а):

$$ \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)])$$

Вот то же самое, только для одного слагаемого.

[ihq.pl]

mihaild, понял:)

[ihq.pl]

Неотрицательную случайную величину $\xi$ (в том числе расширенную) можно представить как предел монотонной последовательности: $\xi_n\uparrow \xi$, где

$$\xi_n = \sum_{k=0}^{n 2^n}x_k I_{\{x_k\leqslant \xi < x_{k+1}\}},\quad x_k = \begin{cases} k/2^n, &k\leqslant n 2^n \\ +\infty, & k=n 2^n+1\end{cases}$$

(Ширяев, Вероятность-I, гл. 2, §4, теорема 1).

Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1682396 писал(а):

Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?

Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть. Что Вы хотите поменять?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1682402 писал(а):

Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть.

там индикаторы полуинтервалов $[a,b)$. Но полуинтервалы $(a,b]$ мне кажутся лучше. В следующем параграфе мера Лебега-Стилтьеса определяется на таких полуинтервалах: $\mathsf{P}(a,b] = F(b)-F(a)$.

[mihaild]

Да, так тоже можно, но это не очень важно. Потому что почти всё определяется через взятие монотонного приближения (и для этого нам надо доказать, что оно существует) и доказывается, что результат от конкретного приближения не зависит.