Ошибка или опечатка?

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, гл. 3, §4. Пункт 4 начинается со слов: Поскольку

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \varepsilon^2 + \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)],\qquad (1)$$

то ясно, что из условия Линдеберга вытекает, что

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \to 0,\quad n\to\infty.$$

В (1) $\xi_{nj}$ - случайные величины с конечным вторым моментом; $I(A)$ - индикатор множества $A$; $n$ любое натуральное число, и $\varepsilon>0$. Можно также предположить, что $\mathsf{D}\xi_{n1} +... + \mathsf{D}\xi_{nn} = 1$.

Попытка доказать (1):

$$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)]) \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)] + \varepsilon^2\sum_{j=1}^n\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon).$$

Но сумма вероятностей $\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon)$ может быть больше единицы и, вообще говоря, может расти вместе с $n$. То есть доказывать надо по-другому. Опечатку или ошибку в самом учебнике тоже не исключаю. Принципиальной роли это не играет, просто любопытно. Заранее благодарю за ответ.

[mihaild]

У Вас слева мат. ожидание потерялось, без него это неравенство совсем уж странное.

Вы слишком амбициозно сразу перешли к сумме. Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1681689 писал(а):

Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

А что значит разбить на две части соответствующее ожидание? Допустим, максимум достигается при $j=n$. Соответствующее ожидание - это матожидание $\mathsf{E}\xi_{nn}^2$ ?

-- 10.04.2025, 21:31 --

mihaild в сообщении #1681689 писал(а):

У Вас слева мат. ожидание потерялось

Да, точно. Автоматически использовал свои макросы. Спасибо.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1681693 писал(а):

А что значит разбить на две части соответствующее ожидание?

ihq.pl в сообщении #1681687 писал(а):

$$ \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)])$$

Вот то же самое, только для одного слагаемого.

[ihq.pl]

mihaild, понял:)

[ihq.pl]

Неотрицательную случайную величину $\xi$ (в том числе расширенную) можно представить как предел монотонной последовательности: $\xi_n\uparrow \xi$, где

$$\xi_n = \sum_{k=0}^{n 2^n}x_k I_{\{x_k\leqslant \xi < x_{k+1}\}},\quad x_k = \begin{cases} k/2^n, &k\leqslant n 2^n \\ +\infty, & k=n 2^n+1\end{cases}$$

(Ширяев, Вероятность-I, гл. 2, §4, теорема 1).

Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1682396 писал(а):

Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?

Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть. Что Вы хотите поменять?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1682402 писал(а):

Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть.

там индикаторы полуинтервалов $[a,b)$. Но полуинтервалы $(a,b]$ мне кажутся лучше. В следующем параграфе мера Лебега-Стилтьеса определяется на таких полуинтервалах: $\mathsf{P}(a,b] = F(b)-F(a)$.

[mihaild]

Да, так тоже можно, но это не очень важно. Потому что почти всё определяется через взятие монотонного приближения (и для этого нам надо доказать, что оно существует) и доказывается, что результат от конкретного приближения не зависит.

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, глава 3, параграф 13.
Пусть $\zeta_1,\zeta_2,...$ - последовательность независимых экспоненциально распределенных ($\mathsf{P}(\zeta_k>x_k)=e^{-x_k}$) случайных величин, и пусть $S_n = \zeta_1+...+\zeta_n$.
Пусть $\Delta_{N+1} = \{x_1\leqslant x_1 \leqslant...\leqslant x_{N+1}\}.$ Тогда (формула(16) в учебнике)

$$\begin{align} \begin{split} &\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1...,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N) =\\ & = e^{-x_1}e^{-(x_2-x_1)}...e^{-(x_{N+1}-x_N)}dx_1...dx_{N+1} = e^{-x_N+1}dx_1...dx_{N+1}, \end{split}\qquad \eqno{(16)} \end{align}$$

если $(x_1,...,x_{N+1})\in \Delta_{N+1}$, и $\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = 0$, если $(x_1,...,x_{N+1})\not\in \Delta_{N+1}$


В конце формулы (16) опечатка: должно быть $e^{-x_{N+1}}$. Но вопрос в другом. Смущают обозначения $dx_k$. С одной стороны $dx_k\subset [x_{k-1}, x_{k+1}]$, а с другой - это дифференциал, т.е.

$$\mathsf{P}(S_1\in (a_1,b_1],...,S_{N+1}\in (a_{N+1},b_{N+1}]) = \int\limits_{a_1}^{b_1}...\int\limits_{a_{N+1}}^{b_{N+1}}e^{-x_{N+1}}dx_1...dx_{N+1}$$

(интервалы $(a_k,b_k]$ не пересекаются). Может, надо было обозначить как-то по-другому?

[Combat Zone]

В теории вероятностей при использовании записи $dx$ в контексте $P\{X \in dx\}$, где X - абсолютно непрерывная случайная величина, имеет несколько другой смысл, чем в анализе.
Она означает вероятность того, что случайная величина $ X $ принимает значение в "бесконечно малом" интервале $ (x, x + dx) $. И $dx$ означает длину этого интервала.

Чисто формально $P\{X \in dx\} = f_X(x) \, dx$, где $f_X$ - плотность с.в.

Это обозначение удобно в ряде случаев, но если оно смущает, можно уйти от него к записи через малые интервалы, однако выкладки станут более громоздкими.

ihq.pl в сообщении #1683965 писал(а):

С одной стороны $dx_k\subset [x_{k-1}, x_{k+1}]$

Нет, так это не интерпретируется. Это единое обозначение, введенное одновременно для интервала $(x, x+dx)$ и его длины. К нему надо просто привыкнуть.

Правая часть в (16) не вызвала вопросов?

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1684086 писал(а):

Правая часть в (16) не вызвала вопросов?

Имеете в виду опечатку $e^{-x_{N}+1}$ ? Должно быть $e^{-x_{N+1}}$.

[ihq.pl]

Но скорее всего другое. Я так проверял это равенство:

$$ \begin{align} \begin{split} \mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \\ &=\mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1, \zeta_3\in dx_3-x_2-x_1,..,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N-...-x_1). \end{split} \end{align} $$

Теперь если для некоторого $k$ имеет место неравенство $x_{k+1}<x_k,$ то $dx_{k+1}-x_k<0$. Но $\mathsf{P}(\zeta_{k+1}< 0) = 0$. Поэтому если условие

$$x_1\leqslant x_2\leqslant...\leqslant x_{N+1}\qquad (1)$$

не выполняется, то $\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = 0$. Другой вопрос всегда ли

$$\mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1})>0,$$

если (1) выполняется? Пусть даже в (1) строгие неравенства, может случиться, что, например, $dx_3-x_2-x_1<0$... что-то не так делаю.

[Combat Zone]

ihq.pl в сообщении #1684096 писал(а):

Имеете в виду опечатку $e^{-x_{N}+1}$ ? Должно быть $e^{-x_{N+1}}$.

Нет, ту правую, которая посередине :)

ihq.pl в сообщении #1684121 писал(а):

это равенство:

$$ \begin{align} \begin{split} \mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \\ &=\mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1, \zeta_3\in dx_3-x_2-x_1,..,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N-...-x_1). \end{split} \end{align} $$

Не, ну это же неправда.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1684262 писал(а):

Не, ну это же неправда.

Разобрался, спасибо)
Да, "вопросы" должны были возникнуть. Но не возникли. Вернее, возникли только после Вашего вопроса)