Поле движущегося заряда,потенциал Льенара-Вихерта,дифракция

[_pv]

Для движущегося точечного заряда можно выразить поле в любой точке
https://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A9n ... omputation
Если есть зеркальная поверхность, то можно отразить в ней сам заряд, что автоматически сделает граничные условия на зеркале, и считать поле в любой точке как сумму исходного и отраженного зарядов, каждый со своими нормальными и отражёнными положениями, скоростями и ускорениями.

А если есть полуплоскость то куда и как надо "отразить" точечный заряд, чтобы получить дифракцию на границе полуплоскости, и поле от "отражённого" заряда в "тени" за полуплоскостью?

[realeugene]

_pv в сообщении #1682649 писал(а):

А если есть полуплоскость то куда и как надо "отразить" точечный заряд, чтобы получить дифракцию на границе полуплоскости, и поле от "отражённого" заряда в "тени" за полуплоскостью?

Если у вас нет области пространства "за границей", то вам и некуда помещать фиктивный точечный заряд. Метод изображений применим далеко не для каждой задачи.

[_pv]

Почему нет области?
Пусть бесконечно тонкая всепоглощающая полуплоскость от {0,0} вверх и "вглубь", слева от неё как-то летит заряд.
Фиктивный заряд (да и не один, наверное) может быть где угодно в той же, левой, половине пространства перед перегородкой, что и нормальный заряд, для вычисления поля в правой (особенно верхней) части пространства "за" полуплоскостью, куда поле от исходного заряда не должно попадать без дифракции, закрытое перегородкой.

[realeugene]

_pv в сообщении #1682768 писал(а):

Фиктивный заряд (да и не один, наверное) может быть где угодно в той же, левой, половине пространства перед перегородкой, что и нормальный заряд, для вычисления поля в правой (особенно верхней) части пространства "за" полуплоскостью, куда поле от исходного заряда не должно попадать без дифракции, закрытое перегородкой.

То есть вы рассматриваете только поле в правой полуплоскости? Поле в пустом полупространстве справа определяется краевыми условиями. Тогда, конечно, можете играться с помещением зарядов слева. Не факт, что что-то получится - метод изображений не универсален и хорошо работает в случаях, когда удаётся заиспользовать какую-то симметрию задачи.

[_pv]

Да, но не очень понятно какие должны быть граничные условия на самом крае перегородки, что заставляют поля "за угол" поворачивать.

Туда, на самую кромку перегородки, наверное, можно какой-нибудь мнимый "ретранслятор" поставить, который поле в этой точке дальше будет просто во все стороны равномерно(?) дальше переизлучать (а-ля Гюйгенс) но вот так, частично только в этой точке, это работать не будет, надо что-то хитрее.

[realeugene]

_pv в сообщении #1682956 писал(а):

Да, но не очень понятно какие должны быть граничные условия на самом крае перегородки, что заставляют поля "за угол" поворачивать.

Если идеальный проводник - то напряженность электрического поля всюду перпендикулярна поверхности. Что на острии - не знаю, нефизично. Нужно придумать условия, которые не испортят задачу. Например, перегородка малой, но конечной толщины с полуцилиндрическим краем, и взять предел нулевой толщины. Если это вообще как-то влияет на результат. Но если честно, не совсем понимаю, что именно вы таким образом считаете? Электростатическое поле и волны наверное будут вести себя по-разному.

[_pv]

Пусть будет не бесконечно тонкая перегородка, а вообще дифракция на шаре, для упрощения геометрии, хотя полуплоскость вроде должна быть проще, но сама кромка бесконечно тонкой плоскости действительно пожалуй выглядит несколько специфично.
Можно на абсолютно поглощаюшем шаре (чтобы об отражениях не думать вообще), можно на абсолютно отражающем (как отразить точечный заряд в сферическом зеркале вроде тоже понятно)

Через запаздывающие потенциалы известно поле везде,
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191c003685246d3d7ed0911e747320e67f8f261b
(извините что ссылкой, но не буду я это всё в техе перенабирать, а .svg форуму не нравится)
Первое слагаемое в скобках - кулоновская "электростатика" $1/r^2$, второе - излучение $1/r$, так что незачем их разделять.

Хочется понять можно ли "фиктивными" отражениями заряда изобразить дифракцию, чтобы получить ненулевые поля заворачивающие "за угол".
Без раскладывания поля на кучу отдельных монохроматичных волн, распространения их, а потом собирания обратно.
А просто взять исходное известное $E(r,t)$ и погнуть/отразить окружающее пространство и получить $E'(r,t)$ с учетом окружающей простой "геометрии", как работает с зекралами.

[amon]

_pv в сообщении #1682967 писал(а):

а вообще дифракция на шаре, для упрощения геометрии... Через запаздывающие потенциалы известно поле везде... Хочется понять можно ли "фиктивными" отражениями заряда изобразить дифракцию.

Нельзя. Тут в кучу свалено все.
Потенциал Льенара-Вихерта это потенциал единичного точечного заряда в вакууме, двигающегося, по одному ему известной причине, вдоль какой-то кривой траектории с переменной скоростью. Излучает такой заряд только если он движется с ускорением.
Задача дифракции это задача о вычислении поля при условии заданной (обычно плоской) "инициирующей" волны. Никаких заданных траекторий зарядов в задаче дифракции нет. Заряды есть на теле, на котором дифрагирует волна, но считать это хозяйство через запаздывающие потенциалы - убиться проще.
Заряды изображения возникают в задачах электростатики. Там излучения нет, все выражается через скалярный потенциал, заряды неподвижны. Как только заряд начал двигаться, даже медленно, так что излучением можно пренебречь, ответ, получающийся изображением, становится, вообще говоря, неверным. В поле волны заряды бегают даже в диэлектрике, и Ваши попытки с помощью метода изображений "изобразить дифракцию" абсолютно бесперспективны.

[_pv]

Ну вот нет плоской "инициирующей" волны , а есть движущийся по некой траектории заряд в качестве источника поля. Ну и пусть он движется с достаточно большими ускорениями что $1/r^2$ частью можно принебречь, хотя какая разница, можно и оставить и "электростатику" и излучение.

И если, при наличии отражающей поверхности, "отразить" в ней этот движущийся заряд, то его поля, посчитанные через запаздывающий потенциал, вместе с полями от исходного заряда сделают на поверхности зеркала правильные граничные условия. Соответственно добавив к полю исходного заряда поле от "изображения" вроде получится правильное поле, с учётом отражения в том числе и в "динамике".

А теперь вместо зеркала добавим полуплоскость, поля перед плоскостью не поменяются, поля за плоскостью в "тени" далеко от границы занулятся, поля "не в тени" далеко от границы тоже останутся как есть, а около границы будет некая добавка

которую вероятно всё-таки возможно представить как поле от некоего "изображения[ий]", в таком простом случае как полуплоскость.

[realeugene]

_pv в сообщении #1682992 писал(а):

И если, при наличии отражающей поверхности, "отразить" в ней этот движущийся заряд, то его поля, посчитанные через запаздывающий потенциал, вместе с полями от исходного заряда сделают на поверхности зеркала правильные граничные условия.

Такой метод использует симметрию геометрии. В "исправленной" задаче такой симметрии нет. Найдёте - вам поаплодируют, но вряд ли. В общем случае такие задачи решаются численно, да ещё существуют и разные методы, применимые для тех или иных частных случаев движения исходного заряда.

[_pv]

Какую симметрию?
Если взять конечное зекрало, где попало расположенное, то в той "конической" области пространства (с вершиной конуса на месте заряда-отражения и "конусом" образованным границами зеркала), которую заряд-отражение "видит" через зеркало, можно просто сложить поля от заряда и заряда отражения, снаружи этого "конуса" отражённых полей нет и только поле от исходного заряда.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1682991 писал(а):

Заряды изображения возникают в задачах электростатики.

В электродинамике тоже есть метод отражения. Но я никогда не слышал, чтоб его можно было применить к чему-либо, кроме токов (а значит и зарядов) над идеально проводящей бесконечной плоскостью. Думаю, это невозможно. А в случае полуплоскости даже нет области пространства, куда бы эти фиктивные заряды можно было бы попытаться (хотя бы попытаться!) засунуть, чтобы удовлетворить граничные условия.

[_pv]

Фиктивные заряды поместить можно куда угодно, в случае тонкого проводящего зеркала, заряд изображение окажется за зеркалом, но поля от него можно считать только с одной стороны от зеркала.
Так и тут для вычисления поля "за полуплоскостью" фиктивных зарядов можно наставить рядом с исходным зарядом.
Не очень понятно какие-именно надо удовлетворить граничные условия, чтобы поля от фиктивных зарядов начали "за угол" поворачить.

[Alex-Yu]

_pv в сообщении #1683849 писал(а):

Фиктивные заряды поместить можно куда угодно, в случае тонкого проводящего зеркала, заряд изображение окажется за зеркалом, но поля от него можно считать только с одной стороны от зеркала.

Фиктивные заряды должны быть вне области , где ищется поля. А такой области нет (разве что в толще экрана, если его взять конечной толщины, но это и совсем сложно). Ну, если считать только в части области (что какая-то "кривая" задача дифракции)... Да и считать поле только с одной стороны зеркала нельзя. Потому как условия на той части, где экрана нет, это условия сшивки решений за экраном и перед экраном. А сшивать с неизвестно каким решением -- это уже граничит с паранойей

Когда придумаете такие фиктивные заряды, которые бы удовлетворили граничные условия в такой задаче, тогда и разговор будет. А так получается какая-то пустопорожняя болтовня. Да и не придумаете вы этого. Во всяком случае с вероятностью 99,9%.

А вообще совет: бросьте вы эту затею с методом отражений (в таких задачах). Уж извините, но абсолютно придурочную затею (ну что я могу сделать, коль это правда). Метод отражения -- это искусственный прием, позволяющий решить граничную задачу для уравнений Максвелла только в очень в специальных случаях (по сути только в одном случае). В остальных случаях он не годится.

Цитата:

Не очень понятно какие-именно надо удовлетворить граничные условия,

Вот как раз тут и понимать нечего. Граничные условия на поверхности проводника -- это равенство нулю тангенциальной компоненты ${\bf E}$.

[_pv]

_pv в сообщении #1683849 писал(а):

Фиктивные заряды должны быть вне области , где ищется поля. А такой области нет

мне нужны поля в только правой половине, за перегородкой, соответственно есть вся левая половина, где присутствует движущийся заряд, для рисования "изображений".

Alex-Yu в сообщении #1683893 писал(а):

Вот как раз тут и понимать нечего. Граничные условия на поверхности проводника -- это равенство нулю тангенциальной компоненты ${\bf E}$.

зеркало было только для примера,
пусть будет просто абсолюно поглощающая поверхность.

Как изменится E(r,t) от движущегося заряда в правой половине пространства если посередине добавить полуплоскость?
Абсолютно черную или абсолютно зеркальную, для правой половины пространства, где зарядов нет, разницы вроде быть не должно.