Формула площади квадрата: аксиома или требует доказательства

[Girpodius]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Прошу помощи в ответе на вопрос, который, в общем-то, вынесен в заголовок темы: "Требует ли доказательства формула площади квадрата или это аксиома?"

Вопрос вызван следующими соображениями.
1. Доказательства формул площадей всех других геометрических фигур на плоскости сводятся, в конечном счете, к формуле площади квадрата;
2. В классическом учебнике по геометрии для 7-9 класса под авторством Атанасяна Л.С. утверждение "Площадь квадрата равна квадрату его стороны" представлено как свойство. Далее по тексту приводится доказательство того, что "площадь $S$ квадрата со стороной $a$ равна $a^2$". Рассматривается три случая: когда сторона квадрата $\frac {1} {n}$ (при целом $n$), когда сторона квадрата конечная десятичная дробь и когда бесконечная десятичная дробь. В первом случае берут квадрат со стороной $1$ и разбивают его на $n^2$ равных квадратов. "Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна $\frac {1} {n^2}$. Сторона каждого маленького квадрата равна $\frac {1} {n}$, то есть равна $a$".
В доказательстве используют как факт, что площадь квадрата со стороной 1 равна 1, хотя до этого как аксиома это введено не было.
3. В книге Э.Э. Моиза, Ф.Л. Даунса "Геометрия" (М., 1972 г.) есть аксиома 22 (аксиома единицы площади): "Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны".

В конечном итоге, у меня возникла путаница.
Буду благодарен за помощь!

[Mihr]

Путаница из-за того, что определение площади фигуры в школе вообще не даётся. Это разумно: оно действительно сложно для школьников.
Тот факт, что площадь единичного квадрата равна одному, - это, по сути, часть определения площади (или меры вообще).

[Girpodius]

Mihr в сообщении #1681660 писал(а):

Путаница из-за того, что определение площади фигуры в школе вообще не даётся. Это разумно: оно действительно сложно для школьников.
Тот факт, что площадь единичного квадрата равна одному, - это, по сути, часть определения площади (или меры вообще).

Mihr, благодарю за ответ!
Будьте добры, подскажите, пожалуйста. Речь идет именно об определении площади, то есть воспринимать то, что площадь единичного квадрата равна $1$, как аксиому - некорректно?

[Mihr]

Girpodius в сообщении #1681661 писал(а):

Речь идет именно об определении площади

Насколько я понимаю, да.

[drzewo]

Грубо говоря, на плоскости выделяется некоторый набор множеств $A$ и определяется функция

$$\mu:A\to [0,\infty].$$

Эта функция ставит в соответствие множеству $a\in A$ число $\mu(a)$.
Функция $\mu$ обладает следующими двумя свойствами
если множества $a_1,a_2,\ldots$ не пересекаются то

$$\mu(a_1\cup a_2\cup\ldots)=\mu(a_1)+\mu(a_2)+\ldots,$$

и $\mu(\emptyset)=0$.
Таких функций $\mu$ может быть много. Для того что бы зафиксировать ту $\mu$ которая соответствует нашей интуиции площади, ставят несколько дополнительных условий среди которых требуют, чтобы $\mu$ от квадрата со стороной 1 равнялась 1. Тогда число $\mu(a)$ называют площадью фигуры $a$.

[Girpodius]

drzewo, благодарю Вас! В принципе, суть мне понятна. Первоначальная договорённость заключается не в том, что площадь квадрата равна квадрату стороны, а в том, что площадь единичного квадрата равна 1. Хотя, наверно, это одно и тоже по своей сути, но в основе первоначальной договоренности, по логике, должно лежать более слабое утверждение, что мы и имеем. И при этой договорённости указанное Вами число будет являться площадью фигуры. Без этой договорённости указанное число нельзя называть площадью фигуры, однако сама по себе функция $\mu$ будет существовать согласно данному ей определению.

[Mikhail_K]

Girpodius в сообщении #1681661 писал(а):

Речь идет именно об определении площади, то есть воспринимать то, что площадь единичного квадрата равна $1$, как аксиому - некорректно?

Почему же некорректно.
На самом деле, если подумать - особой разницы между определениями и аксиомами нет.
И аксиомы, и определения - это то, на что мы в конечном итоге опираемся при доказательстве теорем. Поэтому нет никакой разницы, считать ли, например, определение окружности именно определением, или же дополнительной аксиомой.
Наоборот, аксиомы из учебника геометрии можно считать определением - одновременно точек, прямых и других понятий, которые там используются. Грубо говоря, точки и прямые - это такие объекты, которые удовлетворяют данному списку аксиом; вот и определение.
Между аксиомами и определениями проводится различие, в общем-то, только ради удобства. Хотя удобство тут безусловно есть.

Есть даже такое понятие - аксиоматическое определение. Можно сказать, что площадь в школьной геометрии определяется аксиоматически: площадь - это такая величина, которая удовлетворяет таким-то свойствам (=аксиомам). Среди них - свойство (или аксиома) о площади квадрата, которое, таким образом, является частью аксиоматического определения.

[maxmatem]

(Оффтоп)

Кстати в стандартных программах по геометрии не идет речь, о том существует ли такое понятие ка площадь для определенных фигур(те что есть в школьном курсе) , я имею в виду не обсуждают вопрос о квадрируемых фигурах.... поэтому совершенно нормально , что площадь единичного квадрата вводиться равной 1 и это сильно не обсуждается.

[dgwuqtj]

Можно вообще в качестве аксиомы брать формулу площади для всех прямоугольников. Просто иногда более слабые аксиомы удобнее для доказательства существования: например, в теории меры обычно фиксируют только площадь прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

[BVR]

По большому счету, измерение площадей - это отображение, которое каждому многоугольнику ставит в соответствие некоторое положительное число и удовлетворяет следующим правилам (их часто называют аксиомами измерения площади):
1. Если многоугольники F и G равны(конгруэнтны), то $S(F)=S(G)$
2. Вводится понятие разбиения многоугольника (понятно как) и если $F=G+P$, то $S(F)=S(G)+S(P)$
3. Площадь квадрата, построенного на единичном отрезке равна 1.
Потом можно доказать, что такое отображение существует. А потом можно доказать, что при данном выборе единичного отрезка, существует не более одного отображения, удовлетворяющего требованиям 1, 2, 3.
См. Атанасян Л. С., Базылев В. Т., Геометрия, ч. II, М., Просвещение, 1987 г. (но есть и более поздние издания), глава IX
Всё остальное, относится к методике обучения математике. В школьном учебнике Атанасяна и др. Аккуратно доказано, что площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. В других учебниках это принято за аксиому. С точки зрения педагогики, методики и, конечно, времени - это разумно. ведь дети еще с начальной школы знают, чему равна площадь квадрата и прямоугольника.