Формула площади квадрата: аксиома или требует доказательства

[Girpodius]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Прошу помощи в ответе на вопрос, который, в общем-то, вынесен в заголовок темы: "Требует ли доказательства формула площади квадрата или это аксиома?"

Вопрос вызван следующими соображениями.
1. Доказательства формул площадей всех других геометрических фигур на плоскости сводятся, в конечном счете, к формуле площади квадрата;
2. В классическом учебнике по геометрии для 7-9 класса под авторством Атанасяна Л.С. утверждение "Площадь квадрата равна квадрату его стороны" представлено как свойство. Далее по тексту приводится доказательство того, что "площадь $S$ квадрата со стороной $a$ равна $a^2$". Рассматривается три случая: когда сторона квадрата $\frac {1} {n}$ (при целом $n$), когда сторона квадрата конечная десятичная дробь и когда бесконечная десятичная дробь. В первом случае берут квадрат со стороной $1$ и разбивают его на $n^2$ равных квадратов. "Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна $\frac {1} {n^2}$. Сторона каждого маленького квадрата равна $\frac {1} {n}$, то есть равна $a$".
В доказательстве используют как факт, что площадь квадрата со стороной 1 равна 1, хотя до этого как аксиома это введено не было.
3. В книге Э.Э. Моиза, Ф.Л. Даунса "Геометрия" (М., 1972 г.) есть аксиома 22 (аксиома единицы площади): "Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны".

В конечном итоге, у меня возникла путаница.
Буду благодарен за помощь!

[Mihr]

Путаница из-за того, что определение площади фигуры в школе вообще не даётся. Это разумно: оно действительно сложно для школьников.
Тот факт, что площадь единичного квадрата равна одному, - это, по сути, часть определения площади (или меры вообще).

[Girpodius]

Mihr в сообщении #1681660 писал(а):

Путаница из-за того, что определение площади фигуры в школе вообще не даётся. Это разумно: оно действительно сложно для школьников.
Тот факт, что площадь единичного квадрата равна одному, - это, по сути, часть определения площади (или меры вообще).

Mihr, благодарю за ответ!
Будьте добры, подскажите, пожалуйста. Речь идет именно об определении площади, то есть воспринимать то, что площадь единичного квадрата равна $1$, как аксиому - некорректно?

[Mihr]

Girpodius в сообщении #1681661 писал(а):

Речь идет именно об определении площади

Насколько я понимаю, да.

[drzewo]

Грубо говоря, на плоскости выделяется некоторый набор множеств $A$ и определяется функция

$$\mu:A\to [0,\infty].$$

Эта функция ставит в соответствие множеству $a\in A$ число $\mu(a)$.
Функция $\mu$ обладает следующими двумя свойствами
если множества $a_1,a_2,\ldots$ не пересекаются то

$$\mu(a_1\cup a_2\cup\ldots)=\mu(a_1)+\mu(a_2)+\ldots,$$

и $\mu(\emptyset)=0$.
Таких функций $\mu$ может быть много. Для того что бы зафиксировать ту $\mu$ которая соответствует нашей интуиции площади, ставят несколько дополнительных условий среди которых требуют, чтобы $\mu$ от квадрата со стороной 1 равнялась 1. Тогда число $\mu(a)$ называют площадью фигуры $a$.

[Girpodius]

drzewo, благодарю Вас! В принципе, суть мне понятна. Первоначальная договорённость заключается не в том, что площадь квадрата равна квадрату стороны, а в том, что площадь единичного квадрата равна 1. Хотя, наверно, это одно и тоже по своей сути, но в основе первоначальной договоренности, по логике, должно лежать более слабое утверждение, что мы и имеем. И при этой договорённости указанное Вами число будет являться площадью фигуры. Без этой договорённости указанное число нельзя называть площадью фигуры, однако сама по себе функция $\mu$ будет существовать согласно данному ей определению.

[Mikhail_K]

Girpodius в сообщении #1681661 писал(а):

Речь идет именно об определении площади, то есть воспринимать то, что площадь единичного квадрата равна $1$, как аксиому - некорректно?

Почему же некорректно.
На самом деле, если подумать - особой разницы между определениями и аксиомами нет.
И аксиомы, и определения - это то, на что мы в конечном итоге опираемся при доказательстве теорем. Поэтому нет никакой разницы, считать ли, например, определение окружности именно определением, или же дополнительной аксиомой.
Наоборот, аксиомы из учебника геометрии можно считать определением - одновременно точек, прямых и других понятий, которые там используются. Грубо говоря, точки и прямые - это такие объекты, которые удовлетворяют данному списку аксиом; вот и определение.
Между аксиомами и определениями проводится различие, в общем-то, только ради удобства. Хотя удобство тут безусловно есть.

Есть даже такое понятие - аксиоматическое определение. Можно сказать, что площадь в школьной геометрии определяется аксиоматически: площадь - это такая величина, которая удовлетворяет таким-то свойствам (=аксиомам). Среди них - свойство (или аксиома) о площади квадрата, которое, таким образом, является частью аксиоматического определения.

[maxmatem]

(Оффтоп)

Кстати в стандартных программах по геометрии не идет речь, о том существует ли такое понятие ка площадь для определенных фигур(те что есть в школьном курсе) , я имею в виду не обсуждают вопрос о квадрируемых фигурах.... поэтому совершенно нормально , что площадь единичного квадрата вводиться равной 1 и это сильно не обсуждается.

[dgwuqtj]

Можно вообще в качестве аксиомы брать формулу площади для всех прямоугольников. Просто иногда более слабые аксиомы удобнее для доказательства существования: например, в теории меры обычно фиксируют только площадь прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.