Колмогоров вводит понятия сонаправленных и противоположно направленных лучей. Затем формулирует (но не доказывает) транзитивность введённого отношения. Затем почему-то из одной лишь транзитивности делается вывод о существовании классов эквивалентности сонаправленных лучей (разумеется, само выражение "класс эквивалентности" при этом не используется). Доказывается, что величина угла между любыми представителями двух заданных классов одинакова (для этого используется центральная симметрия). И, наконец, после этого доказывается теорема о сумме углов треугольника.
Однако же, пять строчек общих слов --- это совершенно не доказательство ! Если бы Вы попробовали написать доказательство подробнее, по той линии рассуждений, как в учебнике Колмогорова, Вы бы увидели, насколько оно длинное, кривое и неполное. Но Вы как-то ... в общем, Вашу попытку написания доказательства нельзя признать удачной. (Случайно так произошло или сознательно --- не суть важно. Возможно по личным мотивам. Когда Вы пишете какое-то рассуждение, а я всё время там нахожу пробелы и задаю вопросы, это, конечно, может быть субъективно отнюдь не приятно. Но я же не наезжаю на личность (боже упаси!)). Так или иначе, доказательства нет. А с моей стороны доказательство есть, и совсем не длинное.
(Оффтоп)
Посмотрел, как у Киселева. Мое почему-то короче оказалось. Удивился: вроде такого быть не должно, по закону сохранения нетривиальности. Потом понял, в чем дело. Киселев использует наложения, только пока доказывает фундаментальные теоремы о треугольниках, а потом уже из этих теорем всё выводит. А я сразу стал рассуждать с наложением, обойдясь без тех теорем.
Короче, результат нашего эксперимента и говорит том, что колмогоровский учебник --- плохой. Принуждать Вас признавать это в явном виде не буду (мы ж не саентологи какие-нибудь).