Площадь кольца

[wrest]

Не уверен что хорошо тянет на олимпиадность, наверное для средних классов школы.
Но мне показалась задорной задачка.



Даны две окружности, малая помещается внутри большой.
Прямая соединяющая центры окружностей, параллельна хорде AB большой окружности.
Хорда AB касается малой окружности.
Известна длина хорды AB.

Найти площадь заштрихованной фигуры.

[lel0lel]

Если теорему Пифагора применить, то разность квадратов радиусов получается равна 9.

[Shadow]

Если переместить малую окружность по пунктирной линии так, чтобы центры совпадали (т.O), то площадь заштрихованной фигуры не изменится (как разность площадей двух кругов).
И тогда, из $\triangle ABO$, как отметил lel0lel, по т.Пифагора получается $R^2=r^2+9$ и $S=\pi(R^2-r^2)$

[ihq.pl]

Непостижимая какая-то задачка.

[Евгений Машеров]

Решение на основе того, что это задача (а не реальная проблема), так что решение у неё есть. Если можно узнать эту площадь, не зная радиуса внутреннего круга, то ответ к задаче от этого радиуса не зависит. Стало быть, если радиус=0, то площадь та же. Но при нулевом радиусе внутреннего круга это хорда есть диаметр внешнего, и $S=9\pi$

[chislo_avogadro]

ihq.pl в сообщении #1680163 писал(а):

Непостижимая какая-то задачка.

?

Евгений Машеров в сообщении #1680184 писал(а):

Решение на основе того, что это задача (а не реальная проблема), так что решение у неё есть.

Есть, и было показано.

Евгений Машеров в сообщении #1680184 писал(а):

Если можно узнать эту площадь, не зная радиуса внутреннего круга, то ответ к задаче от этого радиуса не зависит.

Как-то не совсем очевидно, что если синхронно изменять оба радиуса, площадь будет оставаться неизменной.

[wrest]

chislo_avogadro в сообщении #1680275 писал(а):

если синхронно изменять оба радиуса, площадь будет оставаться неизменной.

Не "синхронно", а так:

Shadow в сообщении #1679765 писал(а):

получается $R^2=r^2+9$

Это гипербола.

[ihq.pl]

chislo_avogadro в сообщении #1680275 писал(а):

ihq.pl в сообщении #1680163 писал(а):

Непостижимая какая-то задачка.

?

Это просто мысли вслух. Что-то непривычное. Стремление гиперболы к асимптоте - привычно, а постоянство площади кольца - нет. Асимптота $R=r$, т.е. в пределе окружности должны совпадать... Или, другими словами, задачка интересная) На мой взгляд, разумеется (ЫМХО)

[Утундрий]

ihq.pl в сообщении #1680307 писал(а):

Это просто мысли вслух. Что-то непривычное. Стремление гиперболы к асимптоте - привычно, а постоянство площади кольца - нет.

Дырку перетащили внутри контура, площадь окантовки не изменилась. Что непривычного?

[ihq.pl]

Утундрий в сообщении #1680317 писал(а):

Дырку перетащили внутри контура, площадь окантовки не изменилась. Что непривычного?

Я не об этом. Если увеличивать радиус, как показано на первом рисунке, площадь между окружностями не меняется. Но в пределе $R=r$. Или, может, надо писать $\infty=\infty$...?

[wrest]

ihq.pl
С ростом радиуса (-ов) при сохранении длины хорды AB, площадь кольца будет оставаться постоянной, а толщина кольца будет уменьшаться.

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1680325 писал(а):

С ростом радиуса (-ов) при сохранении длины хорды AB, площадь кольца будет оставаться постоянной, а толщина кольца будет уменьшаться.

ну, раз площадь остается постоянной, то что-то с ростом радиуса должно уменьшаться - это понятно.
Я искал фишку в этой задаче, и мне даже на миг показалось, что нашел... эээх

-- 29.03.2025, 17:03 --

Но эта задачка может быть наглядным примером когда

$$0\cdot\infty = a$$

[EUgeneUS]

ihq.pl в сообщении #1680326 писал(а):

Я искал фишку в этой задаче, и мне даже на миг показалось, что нашел... эээх

Фишка в этой задаче в том, что она ломает шаблон: если нужно найти разницу $A-B$, то нужно найти $A$, найти $B$, вычесть.

Но если записать, разницу $S_r = S_1 - S_2 = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = \pi (R_1^2 - R_2^2)$, то сразу теорема Пифагора и возникает.