Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (11 класс)

[Ars11]

Всероссийская математическая олимпиада II этап ( 11 класс)

1. Сколько корней имеет квадратное уравнение

$ax^2+bx+c=0$

если $ |a+c| =|b|$ , а числа a и c различны

2.$sinx + (sinx)^3 + 2008(sinx)^5 = cos2x + (cos2x)^3 + 2008(cos2x)^5

3. Дан прямоугольный параллепипед ABCDA1B1C1D1
Сравните расстояния от вершины A до плоскостей A1BD и C1BD.
Обоснуйте ответ

4. Последовательность чисел строиться следующим образом: Первое число в ней равно 2. Каждое последующее число равно сумме кубов цифр предыдущего числа. Вася утверждает, что среди чисел этой последовательности встретяться два одинаковых числа, Коля - что этого не произойдет. Кто из них прав?

5. Точка M - середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точкеM. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности и ME - перпендикуляр к CD. Найти угол AEB

6. Можно ли расставить в клетках шахматной доски натуральные чилса от 1 до 64 так, чтобы сумма чисел в любой фигуре вида (см рис) была кратна 5?

__
|__|__
|__|__| <<< рисунок
|__|

[вздымщик Цыпа]

Ars11 в сообщении #167710 писал(а):

4. Последовательность чисел строиться следующим образом: Первое число в ней равно 2. Каждое последующее число равно сумме кубов цифр предыдущего числа. Вася утверждает, что среди чисел этой последовательности встретяться два одинаковых числа, Коля - что этого не произойдет. Кто из них прав?

Конечно же прав Вася.

Добавлено спустя 9 минут 38 секунд:

Ars11 в сообщении #167710 писал(а):

5. Точка M - середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точкеM. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности и ME - перпендикуляр к CD. Найти угол AEB

Прямой.

[Erken1]

так а в чем прикол 4ой задачи?

достаточно проверить, что при достаточно большом $k$ выполняется неравенство:

$10^{k}>9^3\cdot k$...

пусть $k$ это наименьшее такое число. Тогда докажем, что число большее чем $10^{k}$ никогда не появиться в данной последовательности. Ясно, что если такое число впервые появилось на каком-то $i$ месте, то число до него состояло не более чем $k$ цифр причем каждое из них меньше $9$.
Так как это последовательность натуральных чисел, ограниченная сверху, то в ней встретятся два одинаковых числа.

[Батороев]

3. Если взять не один, а два предлагаемых параллепипеда и поставить их друг на друга таким образом, чтобы $ABCD$ стало средним сечением, по-новому переобозначить указанные плоскости, то никто не сумеет отличить эти плоскости друг от друга ни по форме, ни по обозначению, ни по расстоянию до т. $A$.

[e2e4]

Цитата:

1. Сколько корней имеет квадратное уравнение

$ax^2+bx+c=0$

если $ |a+c| =|b|$ , а числа a и c различны

Квадратное уравнение имеет ровно два корня в любом случае.
Если же авторы задачи имелли ввиду (и почему помимо решения основной задачи, почти всегда надо догадываться, что же авторы задачи имели ввиду???), сколько различных корней имеет квадратное уравнение с обозначенными условиями, то ответ - тоже два.
Запишем
$D = b^2 - 4ac = (a+c)^2-4ac = a^2 - 2ac+c^2-4ac = (a-c)^2$
Видим, что при различных $a$, $c$ выражение $(a-c)^2$ всегда больше нуля, следовательно у уравнения ровно два различных корня.
Непонимаю, чего в этой задаче такого олимпиадного

[Ars11]

надо было разобрать случаи когда нет корней, или 1 корень

[ha]

Имеются в виду действительные корни. А на счет простоты - так это первая задача, и нужно еще догадаться рассмотреть дискриминант и сделать подстановку. Кстати, по-моему ваше решение не правильно. Рассмотрите случай $a=0$, $b=\pm c$. У уравнения только один корень.

[voroninv]

Это хитрая и простая первая задача

[worm2]

Если a = 0, то, строго говоря, уравнение не является квадратным.
А раз в условии написано "квадратное", значит, a не равно нулю.
Так что всё в ажуре

[Профессор Снэйп]

ha писал(а):

...нужно еще догадаться рассмотреть дискриминант и сделать подстановку.

При исследовании квадратных уравнений трудно догадаться до чего-нибудь другого, отличного от рассмотрения дискриминанта Задача, на мой взгляд, никаким боком не олимпиадная!

Думаю, что в общем списке она играла роль утешительной. Подразумевалось, что уж её-то решат все и никто не уйдёт обиженным

Добавлено спустя 5 минут 44 секунды:

Erken1 писал(а):

достаточно проверить, что при достаточно большом $k$ выполняется неравенство:

$10^{k}>9^3\cdot k$...

Верно не только это неравенство, но даже неравенство $10^k > 9^k \cdot k$. В связи с чем я бы усилил задачу, возводя цифры числа не в куб, а в степень, равную количеству цифр в записи числа (плюс константа, чтоб в первую степень не возводить ).

[Ars11]

Профессор Снэйп писал(а):

Верно не только это неравенство, но даже неравенство $10^k > 9^k \cdot k$

при k = 2
$100 > 81\cdot2$

[Профессор Снэйп]

Ars11 писал(а):

при k = 2
$100 > 81\cdot2$

Речь идёт о неравенстве при достаточно больших $k$. В следующий раз внимательно читайте чужие сообщения, прежде чем бросаться их "опровергать" не имеющими отношения к делу "контрпримерами"!

[TOTAL]

Ars11 писал(а):

2.$sinx + (sinx)^3 + 2008(sinx)^5 = cos2x + (cos2x)^3 + 2008(cos2x)^5$

$sinx = cos2x$ - а это не утешительная задача?

[Юстас]

Что-то не похоже на олимпиаду 11 класса вообще, а на Всейроссийскую - тем более. Разве что последнюю задачу можно на районной 7-классникам дать.

[voroninv]

TOTAL писал(а):

$sinx = cos2x$ - а это не утешительная задача?

Ну всё-таки посложнее первой будет.

Юстас в сообщении #168016 писал(а):

Что-то не похоже на олимпиаду 11 класса вообще, а на Всейроссийскую - тем более. Разве что последнюю задачу можно на районной 7-классникам дать.

Значит такой уровень тех кто пишет.