2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование предела функции
Сообщение11.03.2025, 09:54 
Аватара пользователя


29/08/19
73
Пусть $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: 0 <\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert f(x) - A\right\rvert < \varepsilon$. Верно ли, что $\exists\lim\limits_{x \to x_0}^{} f(x)\in \mathbb{R}$ ?
Ответ - верно. Доказательство. $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\{
\begin{array}{rcl}
 \left\lvert f(x_1) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\
 \left\lvert f(x_2) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\
\end{array}
\right.$
Таким образом, выполнено условие Коши существования предела функции $f$ в точке $x_0$:
$\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\lvert f(x_1) - f(x_2) \right\rvert < \varepsilon 
$. Предел существует.
Это доказательство корректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование предела функции
Сообщение11.03.2025, 10:35 


04/06/24
264
Gecko в сообщении #1678072 писал(а):
Это доказательство корректно?

Вроде как корректно. Разве что стоит добавить в доказательство пару подробностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group