2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существование предела функции
Сообщение11.03.2025, 09:54 
Аватара пользователя
Пусть $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: 0 <\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert f(x) - A\right\rvert < \varepsilon$. Верно ли, что $\exists\lim\limits_{x \to x_0}^{} f(x)\in \mathbb{R}$ ?
Ответ - верно. Доказательство. $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\{
\begin{array}{rcl}
 \left\lvert f(x_1) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\
 \left\lvert f(x_2) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\
\end{array}
\right.$
Таким образом, выполнено условие Коши существования предела функции $f$ в точке $x_0$:
$\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\lvert f(x_1) - f(x_2) \right\rvert < \varepsilon 
$. Предел существует.
Это доказательство корректно?

 
 
 
 Re: Существование предела функции
Сообщение11.03.2025, 10:35 
Gecko в сообщении #1678072 писал(а):
Это доказательство корректно?

Вроде как корректно. Разве что стоит добавить в доказательство пару подробностей.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group