Существование предела функции

[Gecko]

Пусть $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: 0 <\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert f(x) - A\right\rvert < \varepsilon$. Верно ли, что $\exists\lim\limits_{x \to x_0}^{} f(x)\in \mathbb{R}$ ?
Ответ - верно. Доказательство. $\forall \varepsilon>0 \ \exists A\in \mathbb{R} \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} \left\lvert f(x_1) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\ \left\lvert f(x_2) - A\right\rvert < \varepsilon/2 \\ \end{array} \right.$
Таким образом, выполнено условие Коши существования предела функции $f$ в точке $x_0$:
$\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta > 0: \forall x_1,x_2\in \mathring{U_{\delta}}(x_0)\Rightarrow \left\lvert f(x_1) - f(x_2) \right\rvert < \varepsilon $. Предел существует.
Это доказательство корректно?

[skobar]

Gecko в сообщении #1678072 писал(а):

Это доказательство корректно?

Вроде как корректно. Разве что стоит добавить в доказательство пару подробностей.