Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Evgeniy101]

Дошло!

MOD__ 3___ 5___ 7
11___ 2___ 1___ 4
17___ 2___ 2___ 3
29___ 2___ 4___ 1
41___ 2___ 1___ 6
59___ 2___ 4___ 3
71___ 2___ 1___ 1
101__ 2___ 1___ 3
107__ 2___ 2___ 2
137__ 2___ 2___ 4
149__ 2___ 4___ 2
167__ 2___ 2___ 6
179__ 2___ 4___ 4
191__ 2___ 1___ 2
197__ 2___ 2___ 1
209__ 2___ 4___ 6

Evgeniy101 в сообщении #1677640 писал(а):

$ ... + 210n$

Следовательно, недостающая формула выглядит так:

$ 167 + 210n$

Ранее я действительно не рассчитывал, а гадал.

[Yadryara]

Верно. Видите, не зря же я в примере смотрел только остатки по модулям 5 и 7. Ибо по модулям 2 и 3 единственный остаток. А Вы не поленились каждый раз эту двойку по модулю 3 писать.

Evgeniy101 в сообщении #1677660 писал(а):

Ранее я действительно не рассчитывал, а гадал.

А зачем? Вы же ведь хотели разобраться...

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677662 писал(а):

А зачем? Вы же ведь хотели разобраться...

Метод проб и ошибок не бесполезный, чтобы разобраться.
Так снимаются многие вопросы и заблуждения.

[Yadryara]

А теперь неплохо бы убедиться, что этот остаток действительно встречается для первого числа пар близнецов. Снова смотрим A001359 и видим:

$1427 \equiv 167\mod210$

$2267 \equiv 167\mod210$

$2687 \equiv 167\mod210$

То есть если бы мы не нашли 167 и стали бы считать по 14 формулам, то регулярно теряли бы эти кортежи. А теперь, с 15-ю формулами, мы ничего уже не будем терять. Два исключения, два крошечных кортежа, уже были отдельно оговорены.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677669 писал(а):

То есть если бы мы не нашли 167 и стали бы считать по 14 формулам, то регулярно теряли бы эти кортежи. А теперь, с 15-ю формулами, мы ничего уже не будем терять. Два исключения, два крошечных кортежа, уже были отдельно оговорены.

Да, понятно.

[Yadryara]

Теперь табличка для близнецов:

[0, 2]

Период     2#    3#     5#      7#     11#     13#      17#
Остатков   1     1      3       5       9      11       15
Формул      1     1      3      15     135    1485    22275
KF          2     6     10      14      17      20       23

Исключений  0     1      2       2       3       3        4

Как видим и здесь кэф фильтрации растёт, но рост замедляется. Количество кортежей-исключений также потихоньку растёт.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677680 писал(а):

Теперь табличка для близнецов:

[0, 2]

Период     2#    3#     5#      7#     11#     13#      17#
Остатков   1     1      3       5       9      11       15
Формул      1     1      3      15     135    1485    22275
KF          2     6     10      14      17      20       23

Исключений  0     1      2       2       3       3        4

Как видим и здесь кэф фильтрации растёт, но рост замедляется. Количество кортежей-исключений также потихоньку растёт.

Как сделать пробелы между числами, чтобы при "отправить" они оставались, как при написании?

Количество формул и KF понятны.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1677695 писал(а):

Как сделать пробелы между числами, чтобы при "отправить" они оставались, как при написании?

Можно как у меня. Чтобы посмотреть как сделано в любом посте надо нажать

[Evgeniy101]

Теперь мне интересна догадка, которая могла бы намного раньше снять вопросы, которые теперь сняты.

Это про крошечные кортежи.

Вот догадка: кортеж переходит в список крошечных тогда, когда используется период (модуль) включивший в себя младший элемент кортежа множителем или по другому - когда модуль кратен элементу кортежа.

К догадке привел разобранный пример паттерна (0,2):

Dmitriy40 в сообщении #1677151 писал(а):

Кортежи по любому паттерну из чётных чисел можно перекрыть одной формулой $2n+1$. Только толку от этого ... Как и от одной формулы $6n-1$ для простых близнецов ...
Понятно что Вы про другое.

Я тоже говорил не об этом, но здесь оказалось лежит ясный ответ о зачислении кортежа в крошечные.

Yadryara в сообщении #1677669 писал(а):

Два исключения, два крошечных кортежа, уже были отдельно оговорены.

Отмечено, что не интересно, но можно, по периоду 2#=2 получить все близнецы и при этом нет крошечных кортежей вовсе.

Отмечено, что не интересно, но можно, по периоду 3#=6 получить все близнецы, если вычислить нужные остатки. При этом в список крошечных уходит кортеж (3,5), т.к. период кратен одному из элементов кортежа.

Можно считать, что не интересно и по периоду 5#=30 получить все близнецы, если вычислить нужные остатки. При этом в список крошечных уходят кортежи (3,5) и (5,7) т.к. период кратен одному из элементов кортежа.

Можно аналогично и далее продолжать.

Теперь мне понятно почему по паттерну $(0,2,6,8,12,18,20,26,30,32,36,42)$ младший кортеж $[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53]$ попал в список крошечных. Потому, что мы перешли на период кратный одному из элементов кортежа - $2310$ кратно $11$.

Отсюда вывод теоретически верный - если применить период кратный 1271#, то придется выбирать иное младшее значение кортежа, которое больше числа $1271$ для указанного здесь паттерна 12-42.

Верна ли догадка?

[Yadryara]

Ну, приплыли. Мы (особенно Дмитрий) с самого начала твердим что крошечные неинтересны, ан нет, в ту же степь. А матрёшки Вам неинтересны?

Evgeniy101 в сообщении #1677923 писал(а):

если применить период кратный 1271#,

А в каком смысле здесь решётка понимается? До этого мы использовали решётку в стандартном смысле: для обозначаения праймориала конкретного простого. Но число 1271 составное — нет такого праймориала.

[Dmitriy40]

(Составные праймориалы)

Yadryara в сообщении #1677935 писал(а):

Но число 1271 составное — нет такого праймориала.

В таком случае разумно доопределить функцию x# как праймориал до ближайшего меньшего простого (и тогда 7#=8#=9#=10#). Хотя это и не строго, тут есть разночтения в смысле такой записи, запрещать или доопределять.

Evgeniy101 в сообщении #1677923 писал(а):

Отсюда вывод теоретически верный - если применить период кратный 1271#, то придется выбирать иное младшее значение кортежа, которое больше числа $1271$ для указанного здесь паттерна 12-42.

Уже по модулю 13#=30030 остатка 1271 не будет, а будут ТРИ других: 5891, 15131, 19751. Остатки вообще редко сохраняются при переходе к большим модулям. И остатка 1271 больше не будет ни по каким ещё большим модулям. И да, разумеется они все равны 1271 по модулю 11#=2310 и даже 11 по модулю 5#=30 и 1 по модулю 2#=2. Соответственно зачем применять ещё большие периоды (модули) непонятно.

[Evgeniy101]

Речь шла о критерии отнесения кортежа к крошечным.
На примере (0,2) показано, каким образом это отнесение происходит.
Происходит отнесение кортежа к крошечным, тогда когда праймориал кратен одному из чисел кортежа.
Это критикуйте или членораздельно дайте принцип отнесения.

А с 1271 вполне возможно я заблудился - это потом.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1677951 писал(а):

Это критикуйте или членораздельно дайте принцип отнесения.

Это просьба?

Вообще-то я же уже писал:

Yadryara в сообщении #1677227 писал(а):

Для периода 2# — 1 формула : $1+2n$;

Она подходит для всех простых близнецов с первым близнецом больше 2-х.

Для периода 3# — 1 формула : $5+6n$;

Она подходит для всех простых близнецов с первым близнецом больше 3-х.

Для периода 5# — 3 формулы :
...
Они подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше 5.

Отсюда разве не видно, что формулы для периода $p\#$ подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше $p$ ? А те, которые не больше, как раз и есть те самые крошечные исключения.

Впрочем, я пониманию, что Вы немного о другом спрашиваете.

Вы-то сами почему не отвечаете на вопросы? Насчёт матрёшек, например, уже два раза спрашивал.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677956 писал(а):

Отсюда разве не видно, что формулы для периода $p\#$ подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше $p$ ? А те, которые не больше, как раз и есть те самые крошечные исключения.

Следовательно, до меня верно дошло о крошечных.

Yadryara в сообщении #1677956 писал(а):

Вы-то сами почему не отвечаете на вопросы? Насчёт матрёшек, например, уже два раза спрашивал.

Вам понятно о чем спрашиваете, а мне нет.

Что за матрёшки?

[Dmitriy40]

Лучше всё же не матрёшки, а вложенные (паттерны, кортежи). Вложение множеств вполне себе обычная операция. Не надо плодить термины без необходимости.