2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 16:29 


17/05/13
175
Дана функция переводящая вектор в вектор по закону:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})= \frac{(x + y + z)^2 \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}   -  2(x + y + z) \begin{pmatrix}x^2\\ y^2\\ z^2\end{pmatrix} }{(x + y + z)^2 - 2 (x^2 + y^2 + z^2)}$

Нужно доказать тождество:

$f(f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}))=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 16:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1713
Ну сумма координат сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10160
Москва
Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:04 


17/05/13
175
Евгений Машеров в сообщении #1677676 писал(а):
Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?


На ноль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:05 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):
Ну сумма координат сохраняется.

здесь я не понял вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:44 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677683 писал(а):
На ноль делить нельзя.

Там нет деления на 0. А вы вообще пробовали просто написать $f(f(v))$ и раскрыть скобки? Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:48 


17/05/13
175
Можно привести пример попроще:

$f(x)=\frac{a x+b}{c x-a}$

$f(f(x))=x$

Здесь тоже условие, на нуль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:48 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:55 
Заслуженный участник


04/03/09
918
Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще. Может там какой-то геометрический смысл получится разглядеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 19:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 19:51 


17/05/13
175
dgwuqtj в сообщении #1677693 писал(а):
hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

Я не чего не утверждал. Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

-- 06.03.2025, 19:52 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):
Ну сумма координат сохраняется.


12d3 в сообщении #1677692 писал(а):
Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще.


я понял.

-- 06.03.2025, 19:54 --

dgwuqtj в сообщении #1677688 писал(а):
Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.


Хотел по старинке. Вручную. Но выражения длинные получаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 20:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677694 писал(а):
Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

И правда, это я проглядел.

Предлагаю сделать замену $x = a + b + c$, $y = a + \omega b + \omega^2 c$, $z = a + \omega^2 b + \omega c$, где $\omega = \frac {-1 + i \sqrt 3} 2$ (расширив скаляры до $\mathbb C$). Тогда ваше преобразование в новых координатах имеет вид
$$(a, b, c) \mapsto \bigl(a, \frac{a (2 c^2 + a b)}{4 b c - a^2}, \frac{a (2 b^2 + a c)}{4 b c - a^2}\bigr).$$
Я не поленился применить его дважды, действительно получилось тождественное отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение07.03.2025, 10:22 


17/05/13
175
dgwuqtj
Ну если это правомерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение07.03.2025, 11:07 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677732 писал(а):
Ну если это правомерно.

Ваше отображение имеет вид $(x, y, z) \mapsto (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$, где $P$, $Q$, $R$ — рациональные функции с вещественными коэффициентами. Нужно доказать три тождества, $P(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = x$ и пару похожих. Это три равенства между рациональными функциями, поэтому для проверки можно спокойно увеличивать основное поле и делать линейные замены координат. На области определения мы пока не обращаем внимания (это просто какие-то открытые подмножества, даже в смысле топологии Зарисского), хотя можно по идее заморочиться и посчитать, где определено ваше исходное $f$, и где в точности выполняется $f \circ f = \mathrm{id}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение08.03.2025, 11:04 


17/05/13
175
Если переписать функцию в таком в виде:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})=\frac{(x + y + z)}{2(\frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z})}  \begin{pmatrix}\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}\end{pmatrix}$


то тождество становится очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение12.03.2025, 19:37 


17/05/13
175
Используя такой фокус можно увеличить размерность вектора.

$f(\begin{pmatrix}
a \\
 b \\
 c \\
 d \\
 e \\
 f \\
 g 
\end{pmatrix})=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{4}
   (\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g})^{-1}
    

 \begin{pmatrix}\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g} \end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение12.03.2025, 19:41 


21/12/16
1352
вот зачем нужны программы символьных вычислений

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group