2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 16:29 


17/05/13
175
Дана функция переводящая вектор в вектор по закону:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})= \frac{(x + y + z)^2 \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}   -  2(x + y + z) \begin{pmatrix}x^2\\ y^2\\ z^2\end{pmatrix} }{(x + y + z)^2 - 2 (x^2 + y^2 + z^2)}$

Нужно доказать тождество:

$f(f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}))=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 16:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1713
Ну сумма координат сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10160
Москва
Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:04 


17/05/13
175
Евгений Машеров в сообщении #1677676 писал(а):
Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?


На ноль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:05 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):
Ну сумма координат сохраняется.

здесь я не понял вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:44 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677683 писал(а):
На ноль делить нельзя.

Там нет деления на 0. А вы вообще пробовали просто написать $f(f(v))$ и раскрыть скобки? Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:48 


17/05/13
175
Можно привести пример попроще:

$f(x)=\frac{a x+b}{c x-a}$

$f(f(x))=x$

Здесь тоже условие, на нуль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:48 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 18:55 
Заслуженный участник


04/03/09
918
Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще. Может там какой-то геометрический смысл получится разглядеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 19:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 19:51 


17/05/13
175
dgwuqtj в сообщении #1677693 писал(а):
hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

Я не чего не утверждал. Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

-- 06.03.2025, 19:52 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):
Ну сумма координат сохраняется.


12d3 в сообщении #1677692 писал(а):
Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще.


я понял.

-- 06.03.2025, 19:54 --

dgwuqtj в сообщении #1677688 писал(а):
Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.


Хотел по старинке. Вручную. Но выражения длинные получаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение06.03.2025, 20:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677694 писал(а):
Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

И правда, это я проглядел.

Предлагаю сделать замену $x = a + b + c$, $y = a + \omega b + \omega^2 c$, $z = a + \omega^2 b + \omega c$, где $\omega = \frac {-1 + i \sqrt 3} 2$ (расширив скаляры до $\mathbb C$). Тогда ваше преобразование в новых координатах имеет вид
$$(a, b, c) \mapsto \bigl(a, \frac{a (2 c^2 + a b)}{4 b c - a^2}, \frac{a (2 b^2 + a c)}{4 b c - a^2}\bigr).$$
Я не поленился применить его дважды, действительно получилось тождественное отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение07.03.2025, 10:22 


17/05/13
175
dgwuqtj
Ну если это правомерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение07.03.2025, 11:07 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
hassword в сообщении #1677732 писал(а):
Ну если это правомерно.

Ваше отображение имеет вид $(x, y, z) \mapsto (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$, где $P$, $Q$, $R$ — рациональные функции с вещественными коэффициентами. Нужно доказать три тождества, $P(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = x$ и пару похожих. Это три равенства между рациональными функциями, поэтому для проверки можно спокойно увеличивать основное поле и делать линейные замены координат. На области определения мы пока не обращаем внимания (это просто какие-то открытые подмножества, даже в смысле топологии Зарисского), хотя можно по идее заморочиться и посчитать, где определено ваше исходное $f$, и где в точности выполняется $f \circ f = \mathrm{id}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение08.03.2025, 11:04 


17/05/13
175
Если переписать функцию в таком в виде:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})=\frac{(x + y + z)}{2(\frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z})}  \begin{pmatrix}\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}\end{pmatrix}$


то тождество становится очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение12.03.2025, 19:37 


17/05/13
175
Используя такой фокус можно увеличить размерность вектора.

$f(\begin{pmatrix}
a \\
 b \\
 c \\
 d \\
 e \\
 f \\
 g 
\end{pmatrix})=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{4}
   (\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g})^{-1}
    

 \begin{pmatrix}\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\
 \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\
 \frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g} \end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество для вектора
Сообщение12.03.2025, 19:41 


21/12/16
1351
вот зачем нужны программы символьных вычислений

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: andreiandrei


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group