Доказать тождество для вектора

[hassword]

Дана функция переводящая вектор в вектор по закону:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})= \frac{(x + y + z)^2 \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} - 2(x + y + z) \begin{pmatrix}x^2\\ y^2\\ z^2\end{pmatrix} }{(x + y + z)^2 - 2 (x^2 + y^2 + z^2)}$

Нужно доказать тождество:

$f(f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}))=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$

[Null]

Ну сумма координат сохраняется.

[Евгений Машеров]

Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?

[hassword]

Евгений Машеров в сообщении #1677676 писал(а):

Ну вот $x=1$, $y=0$, $z=-1$. Функция переводит в нулевой вектор. Точно повторное применение превратит нулевой вектор в исходный?

На ноль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:05 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):

Ну сумма координат сохраняется.

здесь я не понял вас

[dgwuqtj]

hassword в сообщении #1677683 писал(а):

На ноль делить нельзя.

Там нет деления на 0. А вы вообще пробовали просто написать $f(f(v))$ и раскрыть скобки? Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.

[hassword]

Можно привести пример попроще:

$f(x)=\frac{a x+b}{c x-a}$

$f(f(x))=x$

Здесь тоже условие, на нуль делить нельзя.

-- 06.03.2025, 18:48 --

[12d3]

Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще. Может там какой-то геометрический смысл получится разглядеть.

[dgwuqtj]

hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

[hassword]

dgwuqtj в сообщении #1677693 писал(а):

hassword
Вы утверждаете, что $(1, 0, -1)$ не содержится в области определения вашей $f$, хотя знаменатель в этой точке равен $0^2 - 2 \cdot (1^2 + 0^2 + (-1)^2) = -4 \neq 0$. Тогда напишите строго, где $f$ определена.

Я не чего не утверждал. Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

-- 06.03.2025, 19:52 --

Null в сообщении #1677672 писал(а):

Ну сумма координат сохраняется.

12d3 в сообщении #1677692 писал(а):

Поскольку функция однородная, можно зафиксировать сумму координат, например $x+y+z=1$, жизнь должна стать попроще.

я понял.

-- 06.03.2025, 19:54 --

dgwuqtj в сообщении #1677688 писал(а):

Вроде не такое длинное вычисление, к тому же можно использовать системы компьютерной алгебры.

Хотел по старинке. Вручную. Но выражения длинные получаются.

[dgwuqtj]

hassword в сообщении #1677694 писал(а):

Я сказал только что на ноль делить нельзя. Так как мы используем функцию повторно.

И правда, это я проглядел.

Предлагаю сделать замену $x = a + b + c$, $y = a + \omega b + \omega^2 c$, $z = a + \omega^2 b + \omega c$, где $\omega = \frac {-1 + i \sqrt 3} 2$ (расширив скаляры до $\mathbb C$). Тогда ваше преобразование в новых координатах имеет вид

$$(a, b, c) \mapsto \bigl(a, \frac{a (2 c^2 + a b)}{4 b c - a^2}, \frac{a (2 b^2 + a c)}{4 b c - a^2}\bigr).$$

Я не поленился применить его дважды, действительно получилось тождественное отображение.

[hassword]

dgwuqtj
Ну если это правомерно.

[dgwuqtj]

hassword в сообщении #1677732 писал(а):

Ну если это правомерно.

Ваше отображение имеет вид $(x, y, z) \mapsto (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$, где $P$, $Q$, $R$ — рациональные функции с вещественными коэффициентами. Нужно доказать три тождества, $P(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = x$ и пару похожих. Это три равенства между рациональными функциями, поэтому для проверки можно спокойно увеличивать основное поле и делать линейные замены координат. На области определения мы пока не обращаем внимания (это просто какие-то открытые подмножества, даже в смысле топологии Зарисского), хотя можно по идее заморочиться и посчитать, где определено ваше исходное $f$, и где в точности выполняется $f \circ f = \mathrm{id}$.

[hassword]

Если переписать функцию в таком в виде:

$f(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix})=\frac{(x + y + z)}{2(\frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z})} \begin{pmatrix}\frac{1}{x - y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x + y - z}\\ \frac{1}{-x + y + z}+\frac{1}{x - y + z}\end{pmatrix}$


то тождество становится очевидным.

[hassword]

Используя такой фокус можно увеличить размерность вектора.

$f(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \end{pmatrix})=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{4} (\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g})^{-1} \begin{pmatrix}\frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\ \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\ \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\ \frac{1}{a-b+c+d-e+f-g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\ \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{-a+b+c+d+e-f-g} \\ \frac{1}{a+b-c-d+e+f-g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a-b+c+d-e+f-g} \\ \frac{1}{a-b+c-d+e-f+g}+\frac{1}{-a+b+c-d-e+f+g}+\frac{1}{-a-b-c+d+e+f+g}+\frac{1}{a+b-c+d-e-f+g} \end{pmatrix}$

[drzewo]

вот зачем нужны программы символьных вычислений