2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 22:39 


03/12/24
15
Вычислить:
$$
\iiint_V x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z ; V: z=x y, x+y \leq 1, y \geq 0, z \geq 0 .
$$


Я поняла, в каких пределах меняется $y$ и $x$.

Проблема возникла с $z$. Получается ограничить только функцией зависящей от одной переменной. Как решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:23 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
А почему у вас есть ограничение в виде равенства, если интеграл по объёму?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:48 


03/12/24
15
dgwuqtj
Условие задачи такое было...

-- 06.03.2025, 23:48 --

dgwuqtj
Дык

А ведь бывает же такое вполне себе

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18031
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677703 писал(а):
Условие задачи такое было...
И никаких слов там не было?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:49 


03/12/24
15
$$\begin{aligned}
&\text { Обьем считается так: } \mathbb{V}_G=\iiint_G d x d y d z \text { Вопрос: найти }\\
&\begin{gathered}
\mathbb{V}_G \\
G:\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=a x y z, \quad a>0 \quad x, y, z>0
\end{gathered}
\end{aligned}$$

-- 06.03.2025, 23:49 --

Someone
Могу фото приложить?

-- 06.03.2025, 23:51 --

Someone
Там было написано "Вычислить:"

А дальше в точности то, что написано

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:56 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
Тогда 0 получается, раз уж вы интегрируете по гиперповерхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:59 


04/06/24
264
Явно составители задачи имели ввиду что-то другое. Опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:59 


03/12/24
15
dgwuqtj


Не поняла сейчас :roll:

В каких пределах z меняется? Может имели в виду G?

-- 07.03.2025, 00:00 --

skobar
Что тогда? Как "подправить"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:04 


04/06/24
264
AntonioVivaldi в сообщении #1677708 писал(а):
Что тогда? Как "подправить"?

Ответ к задаче есть? Если есть, можно попробовать восстановить задачу по ответу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:05 


03/12/24
15
skobar
Нет(((

-- 07.03.2025, 00:07 --

skobar


Может такого рода имелось ввиду задача??

$$\begin{gathered}
I=\iiint_G\left(x^2+y^2\right) d x d y d z \\
G:\left\{\begin{array}{r}
x^2+y^2=2 z \\
z=2 \\
z \geq 0
\end{array}\right.
\end{gathered}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18031
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677705 писал(а):
Могу фото приложить?
Не надо.
Там перед этой группой задач нет какого-нибудь текста? Типа "Вычислите объёмы тел, ограниченных заданными поверхностями"? Последняя ваша задача явно такого типа.

P.S. Не включайте в формулы сопровождающий их текст и не используйте двойные доллары вместо одиночных, если Вы не хотите, чтобы формула была в центре отдельной строки.

Якобы цитата: AntonioVivaldi в сообщении #1677705 писал(а):
Обьем считается так: $V_G=\iiint_Gdxdydz$.
Вопрос: найти $V_G$.
$G:(x^2+y^2+z^2)^2=axyz$, $a>0$, $x,y,z>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:17 


03/12/24
15
Someone
Да
Поняла
Исправлюсь

-- 07.03.2025, 00:19 --

Someone

Все, кроме первой, брала из учебника. Первая (из вопроса в задаче) из к/р.

Наверное да, там не хватает этой фразы.

Но тогда всё равно нужно вычислить ограничения на z

-- 07.03.2025, 00:19 --

Ограничения, зависящие от двух переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18031
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677712 писал(а):
Но тогда всё равно нужно вычислить ограничения на z

В той задаче, которую я "процитировал", нужно перейти к сферическим координатам $$\begin{cases}x=r\cos\varphi\cos\psi,\\ y=r\sin\varphi\cos\psi,\\ z=r\sin\psi,\end{cases}$$ выяснить вид поверхности и пределы интегрирования. А потом вычислить интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:41 


03/12/24
15
Someone

В этой поняла

Нужна исходная

-- 07.03.2025, 00:41 --

Та, что в вопросе

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18031
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677716 писал(а):
В этой поняла

Нужна исходная
А там ещё проще. Изображаете плоскости $x+y=1$, $y=0$, $z=0$, определяете, что они ограничивают с учётом заданных неравенств, рисуете ту часть поверхности $z=xy$ в полученной области, смотрите, какую область они все вместе ограничивают, расставляете пределы интегрирования…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group