2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 22:39 


03/12/24
20
Вычислить:
$$
\iiint_V x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z ; V: z=x y, x+y \leq 1, y \geq 0, z \geq 0 .
$$


Я поняла, в каких пределах меняется $y$ и $x$.

Проблема возникла с $z$. Получается ограничить только функцией зависящей от одной переменной. Как решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:23 
Заслуженный участник


07/08/23
1428
А почему у вас есть ограничение в виде равенства, если интеграл по объёму?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:48 


03/12/24
20
dgwuqtj
Условие задачи такое было...

-- 06.03.2025, 23:48 --

dgwuqtj
Дык

А ведь бывает же такое вполне себе

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18037
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677703 писал(а):
Условие задачи такое было...
И никаких слов там не было?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:49 


03/12/24
20
$$\begin{aligned}
&\text { Обьем считается так: } \mathbb{V}_G=\iiint_G d x d y d z \text { Вопрос: найти }\\
&\begin{gathered}
\mathbb{V}_G \\
G:\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=a x y z, \quad a>0 \quad x, y, z>0
\end{gathered}
\end{aligned}$$

-- 06.03.2025, 23:49 --

Someone
Могу фото приложить?

-- 06.03.2025, 23:51 --

Someone
Там было написано "Вычислить:"

А дальше в точности то, что написано

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:56 
Заслуженный участник


07/08/23
1428
Тогда 0 получается, раз уж вы интегрируете по гиперповерхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:59 


04/06/24
288
Явно составители задачи имели ввиду что-то другое. Опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение06.03.2025, 23:59 


03/12/24
20
dgwuqtj


Не поняла сейчас :roll:

В каких пределах z меняется? Может имели в виду G?

-- 07.03.2025, 00:00 --

skobar
Что тогда? Как "подправить"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:04 


04/06/24
288
AntonioVivaldi в сообщении #1677708 писал(а):
Что тогда? Как "подправить"?

Ответ к задаче есть? Если есть, можно попробовать восстановить задачу по ответу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:05 


03/12/24
20
skobar
Нет(((

-- 07.03.2025, 00:07 --

skobar


Может такого рода имелось ввиду задача??

$$\begin{gathered}
I=\iiint_G\left(x^2+y^2\right) d x d y d z \\
G:\left\{\begin{array}{r}
x^2+y^2=2 z \\
z=2 \\
z \geq 0
\end{array}\right.
\end{gathered}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18037
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677705 писал(а):
Могу фото приложить?
Не надо.
Там перед этой группой задач нет какого-нибудь текста? Типа "Вычислите объёмы тел, ограниченных заданными поверхностями"? Последняя ваша задача явно такого типа.

P.S. Не включайте в формулы сопровождающий их текст и не используйте двойные доллары вместо одиночных, если Вы не хотите, чтобы формула была в центре отдельной строки.

Якобы цитата: AntonioVivaldi в сообщении #1677705 писал(а):
Обьем считается так: $V_G=\iiint_Gdxdydz$.
Вопрос: найти $V_G$.
$G:(x^2+y^2+z^2)^2=axyz$, $a>0$, $x,y,z>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:17 


03/12/24
20
Someone
Да
Поняла
Исправлюсь

-- 07.03.2025, 00:19 --

Someone

Все, кроме первой, брала из учебника. Первая (из вопроса в задаче) из к/р.

Наверное да, там не хватает этой фразы.

Но тогда всё равно нужно вычислить ограничения на z

-- 07.03.2025, 00:19 --

Ограничения, зависящие от двух переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18037
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677712 писал(а):
Но тогда всё равно нужно вычислить ограничения на z

В той задаче, которую я "процитировал", нужно перейти к сферическим координатам $$\begin{cases}x=r\cos\varphi\cos\psi,\\ y=r\sin\varphi\cos\psi,\\ z=r\sin\psi,\end{cases}$$ выяснить вид поверхности и пределы интегрирования. А потом вычислить интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 00:41 


03/12/24
20
Someone

В этой поняла

Нужна исходная

-- 07.03.2025, 00:41 --

Та, что в вопросе

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройной интеграл. Интеграл по объёму
Сообщение07.03.2025, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18037
Москва
AntonioVivaldi в сообщении #1677716 писал(а):
В этой поняла

Нужна исходная
А там ещё проще. Изображаете плоскости $x+y=1$, $y=0$, $z=0$, определяете, что они ограничивают с учётом заданных неравенств, рисуете ту часть поверхности $z=xy$ в полученной области, смотрите, какую область они все вместе ограничивают, расставляете пределы интегрирования…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion, teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group