Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1677220 писал(а):

А если проще и понятнее взять список чисел 0-209, то зачем Вы вообще упоминаете 210-419 ?

Потому что там не мешаются артефактные малые простые.
Например по модулю 30 я часто предпочитаю считать в уме не 0-29, а 30-59, потому что 31 простое, а 1 нет, но остаток 1 подходит, и наоборот, 3 и 5 простые, а 33 и 35 нет и остатки 3 и 5 не подходят.

Yadryara в сообщении #1677220 писал(а):

Но тогда человеку может стать непонятно, а зачем мы вообще считали разрешённые остатки.

Можно и остатки, но и они тоже не связаны напрямую с простыми (близнецами) во всём периоде/модуле.
Остатки посчитать проще чем решето, особенно по большому общему модулю.
По количеству остатков сразу понятно разрешён ли паттерн (осталось ли хоть одно число во всём периоде невычеркнутым), плюс сколько разрешённых, каков выигрыш, и так далее, многим они полезны.
Но список разрешённых остатков полезен в комплекте с КТО (Ваш показанный метод их вычисления её заменяет, фактически это то же решето за которое я агитирую), которая даёт более короткий путь/способ/метод их вычисления по составному модулю чем решето по общему модулю.

Но если человеку непонятно даже почему произведение количеств остатков ... Я даже не уверен что ему понятно почему модули (взаимно простые) тоже перемножаются (если не праймориалы). Что всё это прямо следует из комбинаторики. Вот запросить список разрешённых остатков по модулям 6 и 10 и 21 и 35 - найдёт ли ... И как это сделать через простые близнецы я и сам пожалуй не знаю. Но это (через простые близнецы) всё же тупиковый путь, ведь для других паттернов он может не сработать. А через остатки или делимость (что в общем ровно то же) сработает для любых паттернов.
Такое моё ИМХО. Но в общем я не настаиваю, потому и было в офтопе, пытайтесь объяснять по своему.

[Yadryara]

В общем, как это часто бывает, когда у помогающих дискуссия между собой, те кому они помогают, рискуют ещё больше запутаться.

Попробую внести ясность. Уже с формулами:

Для периода 2# — 1 формула : $1+2n$;

Она подходит для всех простых близнецов с первым близнецом больше 2-х.

Для периода 3# — 1 формула : $5+6n$;

Она подходит для всех простых близнецов с первым близнецом больше 3-х.

Для периода 5# — 3 формулы :

$11 + 30n$

$17 + 30n$

$29 + 30n$

Они подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше 5.

А почему именно 11, 17 и 29? Да потому что только эти три числа в первом периоде 30, то есть в диапазоне 0-29 имеют именно такие разрешённые остатки:

Yadryara в сообщении #1677136 писал(а):

по модулю 2 — 1;
по модулю 3 — 2;
по модулю 5 — все кроме 0 и 3;

Для периода 7# — 15 формул :

$11 + 210n$

$17 + 210n$

$29 + 210n$

$41 + 210n$

$59 + 210n$

$71 + 210n$

$101 + 210n$

$107 + 210n$

$137 + 210n$

$149 + 210n$

$179 + 210n$

$191 + 210n$

$197 + 210n$

$209 + 210n$

$ ... + 210n$

Они подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше 7.

Одно число заменено многоточием. Я конечно знаю, какое. Но мы не можем его сказать. Человеку нужно именно самому разобраться.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677227 писал(а):

$209 + 210n$

$ ... + 210n$

Они подходят для всех простых близнецов с первым близнецом больше 7.

Одно число заменено многоточием. Я конечно знаю, какое. Но мы не можем его сказать. Человеку нужно именно самому разобраться.

$227+ 210n$

Это не означает понимание, т.к. вижу очередных близнецов с началом $227$, а $11$ уже вычеркивается из-за следующего праймориала $2310$

[Yadryara]

Елки ж зелёные !! Ну как остаток-то может быть больше периода!

Ну что Вы правда не понимаете, что

$17+ 210n$

и

$227+ 210n$

это одна и та же формула ??! Даёт одних и тех же кандидатов, только при разных $n$.

До чего я не люблю мордоладонить...

Ну то есть Вы даже не попытались рассмотреть разрешённые остатки:

Yadryara в сообщении #1677136 писал(а):

по модулю 2 — 1;
по модулю 3 — 2;
по модулю 5 — все кроме 0 и 3;
по модулю 7 — все кроме 0 и 5.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677238 писал(а):

До чего я не люблю мордоладонить...

Поддайте, быстрее вылечу

[Yadryara]

И Вы опять не поняли.

Вот же мордоладонный смайлик, который Дмитрий уже ставил:



Не люблю мордоладонить, значит не люблю ставить этот смайлик.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677241 писал(а):

И Вы опять не поняли.

Хватит мне коптить это чистое небо. Улетаю.

[Dmitriy40]

(Ну нет же сил терпеть!)

По шагам надо, по шагам ... Говорю же что простота чисел только путает. Проще надо, проще.
Выписываем в строку 105 нечётных чисел с 0 до 210.
Под ними выписываем их остатки по модулю 3.
Ниже по модулю 5.
Ниже по модулю 7.
Вычёркиваем из верхней строки те что имеют остаток не 2 по модулю 3 (т.е. вычёркиваем все числа с запрещёнными остатками по этому модулю).
Потом те что имеют остаток не 1,2 или 4 по модулю 5 (т.е. вычёркиваем все числа с запрещёнными остатками по этому модулю).
Потом те что имеют остаток не 1,2,3,4,6 по модулю 7 (т.е. вычёркиваем все числа с запрещёнными остатками по этому модулю).
Считаем оставшиеся числа.
Их 15 штук. Первое 11, последнее 209.
Бинго!
Смотрим какого числа не хватает в списке Yadryara выше. Видим одно.
Снова бинго.
Думаем как из чисел 1,1,3,5 (количество остатков по модулям 2,3,5,7) получить число 15 по модулю 210 одинаковыми действиями над всеми 4-я числами. Снова думаем. И снова.
Догадываемся до формулы $1\cdot1\cdot3\cdot5=15$. Кто додумался до другой формулы - бегом кыш за медалью Филдса (кто не знал - аналог нобелевки).
И в третий раз бинго.
Сидим и долго пялимся на проделанную работу. До полного просветления.
Если не наступает - пытаемся повторить весь процесс по другому, в другом порядке, справа налево, левой рукой, с другим калькулятором, с делением в столбик, ручкой другого цвета, на бумаге из другой пачки, утром или днём или ночью, при свете свечей или обычной лампы, просим повторить ребёнка (не младше школьного возраста, чтоб делить умел), ещё как-то уж не знаю как ещё.
Убеждаемся что результат тот же. Те же 15 чисел, как ни крути.
Последнее маленькое тихое бинго.

Evgeniy101
Проделайте уже это наконец!
Ровно как написано, не додумывая и не домысливая, ни про какие простые и близнецы и всё прочее, только деление с остатком и ничего более.

[Yadryara]

Я, кстати, сам когда искал это число вручную, делал по-другому.

Во-первых, сразу же бросается в глаза, что лишь один остаток по модулям 2 и 3. Стало быть ключевыми являются остатки по модулям 5 и 7. Я выписал не 105, а 14 чисел и расписал эти остатки только для них :

         mod
         5 7
   11    1 4
   17    2 3
   29    4 1
   41    1 6
   59    4 3
   71    1 1
  101    1 3
  107    2 2
  137    2 4
  149    4 2
  179    4 4
  191    1 2
  197    2 1
  209    4 6

Каждая пара встречается ровно по разу. Но не хватает ровно одной пары разрешённых остатков. Ну и быстро нашёл число с такими остатками, не забывая и про остатки по модулям 2 и 3.

[Yadryara]

Ура! Обе последовательности утвердили:

A266512
A266583

Только в одной написано "dxdy blog", а в другой "dxdy forum"

[Dmitriy40]

Forum написал я, а blog другой участник и я исправлять не стал, лишь прокомментировал (смотрите в истории правок).

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677227 писал(а):

$11 + 210n$

...
$197 + 210n$

$209 + 210n$

$ ... + 210n$

Одно число заменено многоточием. Я конечно знаю, какое. Но мы не можем его сказать. Человеку нужно именно самому разобраться.

Улетел насовсем, но в полусне, наткнувшись на не охваченный, а может охваченный, т.к. ночью, способ рекомендаций Dmitriy40:

Dmitriy40 в сообщении #1677245 писал(а):

Сидим и долго пялимся на проделанную работу. До полного просветления.
Если не наступает - пытаемся повторить весь процесс по другому, в другом порядке, справа налево, левой рукой, с другим калькулятором, с делением в столбик, ручкой другого цвета, на бумаге из другой пачки, утром или днём или ночью, при свете свечей или обычной лампы, просим повторить ребёнка (не младше школьного возраста, чтоб делить умел), ещё как-то уж не знаю как ещё.

отмечу недостающее число, на которое вы оба меня подталкивали кружевным способом.

$ 1 + 210n$

Большое спасибо за многотерпение!

[Yadryara]

Очень рад. Не пропадайте.

Насчёт единицы неправильно конечно. Этот остаток запрещён по модулю 3:

Yadryara в сообщении #1677136 писал(а):

по модулю 2 — 1;
по модулю 3 — 2;
по модулю 5 — все кроме 0 и 3;
по модулю 7 — все кроме 0 и 5.

[Dmitriy40]

Evgeniy101
Вы бы выложили эту свою работу по вычёркиванию чисел. Хоть текстом, хоть картинкой если она на бумаге. Потому что пока непонятно отчего у Вас постоянно ошибки, то ли от невнимательности, то ли просто опечатки когда сюда пишете (а на бумаге всё правильно), то ли чего-то недопонимаете (и непонятно чего).
И пока Вы показываете лишь конечный результат, который раз за разом оказывается неправильным, не понять в чём проблема. И даже если напишете правильное число - всё равно не будет уверенности что поняли (остаётся вероятность угадывания). Нужно посмотреть и промежуточные вычисления, максимально подробные, что и как делаете. Не чтобы посмеяться, а чтобы понять в чём Вы постоянно ошибаетесь и найти причину и ещё раз подробно объяснить недопонятый момент. Это же Вам нужно, не нам.

[Yadryara]

А я вот думаю, что дело в непонимании. Поэтому человек уже минимум дважды, видимо, даже не смотрел на разрешённые остатки.

А вдруг человек не понимает, что в формуле $x+210n$ каждое число $x$ имеет один-единственный и неповторимый набор остатков по модулям 2, 3, 5 и 7. Причём этот набор зависит только от $x$, но не от натурального $n$.

Значит надо вновь спуститься вниз к совсем маленьким числам и рассмотреть простейшие примеры. Вернёмся назад, даже не к периоду 30, а к периоду 6. Формула $x+6n$. Модулей у нас всего два. Посмотрим на остатки по ним для всех $x$ :

x     mod
      2 3
0     0 0
1     1 1
2     0 2
3     1 0
4     0 1
5     1 2

Теперь перечислим наборы по возрастанию, чтоб удобнее было проверить:

mod     x
2 3
0 0     0
0 1     4
0 2     2
1 0     3     
1 1     1
1 2     5 

Да, все-все наборы остатков встретились, причём каждый ровно по одному разу. Теперь перейдём во второй период и убедимся, что наборы ровно такие же:

  kan     mod
          2 3
    6     0 0
    7     1 1
    8     0 2
    9     1 0
   10     0 1
   11     1 2