2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Объединение замкнутых множеств
Сообщение28.02.2025, 13:19 
Аватара пользователя


29/08/19
73
    Рассмотрим конечный набор замкнутых множеств. Докажем, что объединение множеств этого набора является замкнутым множеством:
    $$ x\in \overline{\bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i} \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing \Leftrightarrow$$

    $$ \Leftrightarrow \exists m:x\in\overline{X_m}\xrightarrow{X_m = \overline{X_m}} \exists m: x \in X_m \Leftrightarrow x\in \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i $$

    Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 13:36 
    Заслуженный участник


    07/08/23
    1394
    Объединение бесконечного набора замкнутых множеств может и не быть замкнутым. Например, любое подмножество $\mathbb R$ является объединением одноточечных подмножеств. Вот если набор локально конечен (есть открытое покрытие, каждый элемент которого пересекает только конечное количество замкнутых множеств из набора), тогда всё работает.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 13:37 
    Заслуженный участник
    Аватара пользователя


    16/07/14
    9480
    Цюрих
    Gecko в сообщении #1676959 писал(а):
    $$\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$$
    Вот это каким образом получено?

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 13:51 
    Аватара пользователя


    29/08/19
    73
    mihaild в сообщении #1676962 писал(а):
    Вот это каким образом получено?

    Понятно, что всё кроется в этом месте. Например, для бесконечного набора множеств, образующих при объединении множество $\left\lbrace\dfrac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\right\rbrace$ выполняется: $\forall m \ \exists \varepsilon: U_\varepsilon(0) \cap X_m = \varnothing$

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 14:03 
    Заслуженный участник
    Аватара пользователя


    20/08/14
    8845
    Gecko в сообщении #1676959 писал(а):
    Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.
    А что значит "формально показать несправедливость"? Контрпример есть. В каком месте логической цепочки ошибка, Вы знаете. Что еще нужно?

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 14:38 
    Аватара пользователя


    29/08/19
    73
    Anton_Peplov в сообщении #1676968 писал(а):
    А что значит "формально показать несправедливость"? Контрпример есть. В каком месте логической цепочки ошибка, Вы знаете. Что еще нужно?

    Ну в принципе да, вопрос наверное закрыт. Тут не то, чтобы ошибка была в логической цепочке. Для конечного набора множеств она работает. Вопрос был, в каких случаях не работает для бесконечных наборов. Но dgwuqtj выше указал критерий, спасибо.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 16:44 


    04/06/24
    264
    Gecko в сообщении #1676977 писал(а):
    Для конечного набора множеств она работает.

    Для конечного набора множеств утверждение, конечно, верно, но тем не менее, как уже указал mihaild ваше доказательство содержит изъян. Изъян именно в указанном месте:
    $$\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$$
    Формально из того, что $\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing$ следует лишь то, что для всякого $\varepsilon>0$ найдется $m\in\{1,\dots,k\}$ такое, что $U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$, но $m$, вообще говоря, будет зависеть от $\varepsilon$. Так сразу непонятно, почему будет существовать одно и тоже $m$, которое будет работать для всех $\varepsilon>0$.

    Но тем не менее утверждение очень простое, и может быть легко доказано несколько другим способом.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 16:55 


    21/12/16
    1352
    то, что пересечение двух открытых множеств является открытым множеством -- это просто входит в определение топологического пространства

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 17:02 


    04/06/24
    264
    drzewo в сообщении #1677002 писал(а):
    то, что пересечение двух открытых множеств является открытым множеством -- это просто входит в определение топологического пространства

    Насколько я понимаю, здесь действо происходит в каком-то метрическом пространстве типа $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^n$ (неважно, в каком именно), и доказываемое утверждение является частью доказательства того, что метрика действительно будет определять топологию. Здесь как раз нужно доказать, что у нас на самом деле топологическое пространство.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:01 


    04/06/24
    264
    Gecko в сообщении #1676959 писал(а):
    Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.

    Надо привести правильную цепочку, без изъянов, тогда и несправедливость утверждения для бесконечного числа множеств становится очевидной.

    Правильная цепочка рассуждений:

    Доказываем, что если $X_1, X_2,\dots,X_k$ - замкнуты, то и их объединение замкнуто.

    Чтобы доказать, что $\bigcup_{i=1}^{k}X_i$ замкнуто, нужно доказать, что его дополнение открыто, то есть что любая точка из дополнения объединения содержится в дополнении вместе с некоторым шариком положительного радиуса с центром в этой точке. Возьмем любую точку $x$ из дополнения:
    $$x\in\left(\bigcup_{i=1}^{k}X_i\right)^{\mathsf{c}}$$
    Так как $X_i$ замкнуто, то его дополнение открыто, $x$ лежит в дополнении $X_i$ и, поэтому, существует шарик положительного радиуса $U_{\varepsilon_i}(x)$, содержащийся в $X_i^{\mathsf{c}} \quad (i=1,2,\dots,k)$
    Пересечение всех шариков $\bigcap_{i=1}^{k}U_{\varepsilon_i}(x)$ будет лежать в дополнении к объединению множеств $X_1,X_2,\dots,X_k$ (закон де Моргана) и все ещё будет являться шариком положительного радиуса с центром в $x$.

    Из этого доказательства видно, что если от конечного числа множеств перейти к бесконечному, то пересечение шариков положительного радиуса может выродится в точку, и доказательство не проходит.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:03 
    Аватара пользователя


    29/08/19
    73
    skobar в сообщении #1677004 писал(а):
    Насколько я понимаю, здесь действо происходит в каком-то метрическом пространстве типа $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^n$ (неважно, в каком именно), и доказываемое утверждение является частью доказательства того, что метрика действительно будет определять топологию. Здесь как раз нужно доказать, что у нас на самом деле топологическое пространство.

    Да, мы имеем дело с $\mathbb{R}$. Пока что с понятием топологического пространства не знаком, но, видимо, вы правы.

    skobar в сообщении #1676999 писал(а):
    Для конечного набора множеств утверждение, конечно, верно, но тем не менее, как уже указал mihaild ваше доказательство содержит изъян.

    Точно. Сначала не понял. Изъян-то я действительно не заметил. Правильно так:
    $$\forall\varepsilon \ U_\varepsilon(x)\cap\bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne\varnothing \Rightarrow \forall \varepsilon \ \exists m: U_\varepsilon(x) \cap X_m \ne\varnothing  $$
    А это меняет дело.

    -- 28.02.2025, 20:10 --

    skobar в сообщении #1677018 писал(а):
    Чтобы доказать, что $\bigcup_{i=1}^{k}X_i$ замкнуто, нужно доказать, что его дополнение открыто

    А этот факт в пособии, по которому занимаюсь, идет после задачи, которую решаю :D
    Теперь понятно, спасибо!

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:28 


    04/06/24
    264
    Gecko в сообщении #1677019 писал(а):
    А этот факт в пособии, по которому занимаюсь, идет после задачи, которую решаю :D

    Стандартный естественный подход заключается в том, чтобы определять открытые множества как множества, которые всякую свою точку содержат вместе с каким-нибудь шариком положительного радиуса, а замкнутые множества определяются как дополнения открытых. Тогда, по определению, множество будет замкнуто, тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:29 
    Заслуженный участник
    Аватара пользователя


    01/09/13
    4759

    (Оффтоп)

    А теперь, возьмём метрику, в которой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1 :mrgreen:

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:33 
    Заслуженный участник
    Аватара пользователя


    20/08/14
    8845
    Gecko в сообщении #1677019 писал(а):
    Пока что с понятием топологического пространства не знаком
    О, это весьма красивая область математики (я, конечно, пристрастен). Открытое множество, замкнутое множество, окрестность, непрерывность, компактность, связность - все это на самом деле топологические понятия. И часть теорем, которые Вы будете доказывать в курсе анализа - на самом деле частные случаи топологических теорем, причем в топологии они доказываются даже красивее и проще. Мой любимый пример - вторая теорема Вейерштрасса, которая на самом деле частный случай теоремы "непрерывный образ компактного множества компактен".

    Прекрасное пособие по общей топологии - Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

    Но! Изучение общей топологии может увести Вас весьма далеко от курса анализа, потому что при взгляде с топологических высот $\mathbb R$ - это дико частный случай. Вы узнаете кучу замечательных и красивых понятий и теорем, из которых в дальнейшем Вам пригодится едва ли десятая часть. Будьте осторожны, не попадайтесь в эту ловуш... *звуки борьбы с призраком Урысона*

     Профиль  
                      
     
     Re: Объединение замкнутых множеств
    Сообщение28.02.2025, 19:38 
    Заслуженный участник
    Аватара пользователя


    16/07/14
    9480
    Цюрих

    (Оффтоп)

    Geen в сообщении #1677024 писал(а):
    А теперь, возьмём метрику, в которой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1 :mrgreen:
    И в чем проблема?

     Профиль  
                      
    Показать сообщения за:  Поле сортировки  
    Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

    Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



    Кто сейчас на конференции

    Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


    Вы не можете начинать темы
    Вы не можете отвечать на сообщения
    Вы не можете редактировать свои сообщения
    Вы не можете удалять свои сообщения
    Вы не можете добавлять вложения

    Найти:
    Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group