Объединение замкнутых множеств

[Gecko]

Рассмотрим конечный набор замкнутых множеств. Докажем, что объединение множеств этого набора является замкнутым множеством:

$$ x\in \overline{\bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i} \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing \Leftrightarrow$$

$$ \Leftrightarrow \exists m:x\in\overline{X_m}\xrightarrow{X_m = \overline{X_m}} \exists m: x \in X_m \Leftrightarrow x\in \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i $$

Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.

[dgwuqtj]

Объединение бесконечного набора замкнутых множеств может и не быть замкнутым. Например, любое подмножество $\mathbb R$ является объединением одноточечных подмножеств. Вот если набор локально конечен (есть открытое покрытие, каждый элемент которого пересекает только конечное количество замкнутых множеств из набора), тогда всё работает.

[mihaild]

Gecko в сообщении #1676959 писал(а):

$$\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$$

Вот это каким образом получено?

[Gecko]

mihaild в сообщении #1676962 писал(а):

Вот это каким образом получено?

Понятно, что всё кроется в этом месте. Например, для бесконечного набора множеств, образующих при объединении множество $\left\lbrace\dfrac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\right\rbrace$ выполняется: $\forall m \ \exists \varepsilon: U_\varepsilon(0) \cap X_m = \varnothing$

[Anton_Peplov]

Gecko в сообщении #1676959 писал(а):

Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.

А что значит "формально показать несправедливость"? Контрпример есть. В каком месте логической цепочки ошибка, Вы знаете. Что еще нужно?

[Gecko]

Anton_Peplov в сообщении #1676968 писал(а):

А что значит "формально показать несправедливость"? Контрпример есть. В каком месте логической цепочки ошибка, Вы знаете. Что еще нужно?

Ну в принципе да, вопрос наверное закрыт. Тут не то, чтобы ошибка была в логической цепочке. Для конечного набора множеств она работает. Вопрос был, в каких случаях не работает для бесконечных наборов. Но dgwuqtj выше указал критерий, спасибо.

[skobar]

Gecko в сообщении #1676977 писал(а):

Для конечного набора множеств она работает.

Для конечного набора множеств утверждение, конечно, верно, но тем не менее, как уже указал mihaild ваше доказательство содержит изъян. Изъян именно в указанном месте:

$$\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists m\in\{1,...,k\} : \forall \varepsilon \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$$

Формально из того, что $\forall \varepsilon>0 \ U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} \bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne \varnothing$ следует лишь то, что для всякого $\varepsilon>0$ найдется $m\in\{1,\dots,k\}$ такое, что $U_\varepsilon(x) \bigcap\limits_{}^{} X_m \ne \varnothing$, но $m$, вообще говоря, будет зависеть от $\varepsilon$. Так сразу непонятно, почему будет существовать одно и тоже $m$, которое будет работать для всех $\varepsilon>0$.

Но тем не менее утверждение очень простое, и может быть легко доказано несколько другим способом.

[drzewo]

то, что пересечение двух открытых множеств является открытым множеством -- это просто входит в определение топологического пространства

[skobar]

drzewo в сообщении #1677002 писал(а):

то, что пересечение двух открытых множеств является открытым множеством -- это просто входит в определение топологического пространства

Насколько я понимаю, здесь действо происходит в каком-то метрическом пространстве типа $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^n$ (неважно, в каком именно), и доказываемое утверждение является частью доказательства того, что метрика действительно будет определять топологию. Здесь как раз нужно доказать, что у нас на самом деле топологическое пространство.

[skobar]

Gecko в сообщении #1676959 писал(а):

Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.

Надо привести правильную цепочку, без изъянов, тогда и несправедливость утверждения для бесконечного числа множеств становится очевидной.

Правильная цепочка рассуждений:

Доказываем, что если $X_1, X_2,\dots,X_k$ - замкнуты, то и их объединение замкнуто.

Чтобы доказать, что $\bigcup_{i=1}^{k}X_i$ замкнуто, нужно доказать, что его дополнение открыто, то есть что любая точка из дополнения объединения содержится в дополнении вместе с некоторым шариком положительного радиуса с центром в этой точке. Возьмем любую точку $x$ из дополнения:

$$x\in\left(\bigcup_{i=1}^{k}X_i\right)^{\mathsf{c}}$$

Так как $X_i$ замкнуто, то его дополнение открыто, $x$ лежит в дополнении $X_i$ и, поэтому, существует шарик положительного радиуса $U_{\varepsilon_i}(x)$, содержащийся в $X_i^{\mathsf{c}} \quad (i=1,2,\dots,k)$
Пересечение всех шариков $\bigcap_{i=1}^{k}U_{\varepsilon_i}(x)$ будет лежать в дополнении к объединению множеств $X_1,X_2,\dots,X_k$ (закон де Моргана) и все ещё будет являться шариком положительного радиуса с центром в $x$.

Из этого доказательства видно, что если от конечного числа множеств перейти к бесконечному, то пересечение шариков положительного радиуса может выродится в точку, и доказательство не проходит.

[Gecko]

skobar в сообщении #1677004 писал(а):

Насколько я понимаю, здесь действо происходит в каком-то метрическом пространстве типа $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^n$ (неважно, в каком именно), и доказываемое утверждение является частью доказательства того, что метрика действительно будет определять топологию. Здесь как раз нужно доказать, что у нас на самом деле топологическое пространство.

Да, мы имеем дело с $\mathbb{R}$. Пока что с понятием топологического пространства не знаком, но, видимо, вы правы.

skobar в сообщении #1676999 писал(а):

Для конечного набора множеств утверждение, конечно, верно, но тем не менее, как уже указал mihaild ваше доказательство содержит изъян.

Точно. Сначала не понял. Изъян-то я действительно не заметил. Правильно так:

$$\forall\varepsilon \ U_\varepsilon(x)\cap\bigcup\limits_{i=1}^{k}X_i \ne\varnothing \Rightarrow \forall \varepsilon \ \exists m: U_\varepsilon(x) \cap X_m \ne\varnothing $$

А это меняет дело.

-- 28.02.2025, 20:10 --

skobar в сообщении #1677018 писал(а):

Чтобы доказать, что $\bigcup_{i=1}^{k}X_i$ замкнуто, нужно доказать, что его дополнение открыто

А этот факт в пособии, по которому занимаюсь, идет после задачи, которую решаю
Теперь понятно, спасибо!

[skobar]

Gecko в сообщении #1677019 писал(а):

А этот факт в пособии, по которому занимаюсь, идет после задачи, которую решаю

Стандартный естественный подход заключается в том, чтобы определять открытые множества как множества, которые всякую свою точку содержат вместе с каким-нибудь шариком положительного радиуса, а замкнутые множества определяются как дополнения открытых. Тогда, по определению, множество будет замкнуто, тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

[Geen]

(Оффтоп)

А теперь, возьмём метрику, в которой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1

[Anton_Peplov]

Gecko в сообщении #1677019 писал(а):

Пока что с понятием топологического пространства не знаком

О, это весьма красивая область математики (я, конечно, пристрастен). Открытое множество, замкнутое множество, окрестность, непрерывность, компактность, связность - все это на самом деле топологические понятия. И часть теорем, которые Вы будете доказывать в курсе анализа - на самом деле частные случаи топологических теорем, причем в топологии они доказываются даже красивее и проще. Мой любимый пример - вторая теорема Вейерштрасса, которая на самом деле частный случай теоремы "непрерывный образ компактного множества компактен".

Прекрасное пособие по общей топологии - Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

Но! Изучение общей топологии может увести Вас весьма далеко от курса анализа, потому что при взгляде с топологических высот $\mathbb R$ - это дико частный случай. Вы узнаете кучу замечательных и красивых понятий и теорем, из которых в дальнейшем Вам пригодится едва ли десятая часть. Будьте осторожны, не попадайтесь в эту ловуш... *звуки борьбы с призраком Урысона*

[mihaild]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1677024 писал(а):

А теперь, возьмём метрику, в которой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1

И в чем проблема?