Группа вращений куба

[DieselMachine]

С диагоналями понятно. Я считаю, что группа вращений куба это неудачное название и сбивает с толку, потому что когда вращаешь кубик, то произведение вращений оказывается не тем что ты себе представляешь. Если, например, вращать квадрат на плоскости, то произведение вращений - это последовательное выполнение двух вращений, а с кубом нет и я не видел чтобы это явно указывали при объяснении что из себя представляет эта группа.
Надо было называть "группа преобразований куба, сохраняющих ориентацию" или "группа перестановок диагоналей куба".

-- 26.02.2025, 14:31 --

Вот ещё что интересно. Я держу в руках кубик, выполнил вращение $a$, потом выполнил вращение $b$ и получил в результате вращение $c$. Каким образом можно выразить вращение $c$ через вращения $a$ и $b$ и умножение вращений в группе вращений куба? Подумаю ещё над этим вопросом.

[dgwuqtj]

У куба это в точности группа вращений, вы просто их неправильно последовательно применяете. Элементы группы — это преобразования всего пространства, сохраняющие расстояния и переводящие куб как подмножество $\mathbb R^3$ в себя.

[B@R5uk]

DieselMachine в сообщении #1676552 писал(а):

...выполнил вращение $a$, потом выполнил вращение $b$ и получил в результате вращение $c$. Каким образом можно выразить вращение $c$ через вращения $a$ и $b$ и умножение вращений в группе вращений куба?

Зависит от того, как вы записываете применение этих вращений к точке A пространства. Если как функцию (слева), то

$$c=b\circ a,\qquad c(A)=b\bigl(a(A)\bigr)=(b\circ a)(A)$$

Если же как операцию умножения на оператор (справа), то, соответственно,

$$c=a\circ b,\qquad Ac=(Aa)b=A(a\circ b)$$

Я вам выше говорил, что от того, как вы записываете координаты — как строку или как столбец — будет зависеть как вы строите композицию матриц операторов поворотов (справа налево или же слева направо). И матрицы будут разные (сопряжённые) в этих случаях для одних и тех же операторов. Запись в виде столбцов соответствуют первому случаю, а строк — второму.

[DieselMachine]

B@R5uk
Да, всё так. Теперь всё ясно окончательно. Спасибо