Возведение корней полинома в степень.

[hassword]

Допустим у нас есть полином $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$
Нам нужно получить полином, но с его корнями возведённые в степень $n$
$(x-x_1 ^n)(x-x_2 ^n)(x-x_3 ^n)(x-x_4 ^n)(x-x_5 ^n)$

Как этого добиться?

[Евгений Машеров]

Для степеней, равных $2^n$, есть метод Лобачевского-Греффе. Обобщение на произвольные степени мне неизвестно. Но полагаю, что даже для$2^n$ будет практичнее найти корни и возвести их в нужную степень.

[hassword]

Евгений Машеров в сообщении #1675972 писал(а):

будет практичнее найти корни и возвести их в нужную степень.

Я бы с радостью. Но не существует формулы нахождения корней пятой степени.

[Rak so dna]

Можно выразить коэффициенты через основные симметрические многочлены от $x_1\dots x_5$.

[Null]

$F_5(x)=f(\varepsilon_1\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_2\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_3\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_4\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_5\sqrt[5]{x})$ где $\varepsilon_i=\sqrt[5]{1}$, является многочелном от $x$

[hassword]

Rak so dna в сообщении #1675975 писал(а):

Можно выразить коэффициенты через основные симметрические многочлены от $x_1\dots x_5$.

А можно поподробнее, хотя бы не решение, а план решения.

-- 22.02.2025, 10:19 --

Null в сообщении #1675976 писал(а):

$F_5(x)=f(\varepsilon_1\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_2\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_3\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_4\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_5\sqrt[5]{x})$ где $\varepsilon_i=\sqrt[5]{1}$, является многочелном от $x$

Не совсем понял вас. Где здесь возведение в степень?

[dgwuqtj]

hassword в сообщении #1675981 писал(а):

Где здесь возведение в степень?

Так вы посчитайте, какие корни у $F_5$.

[hassword]

dgwuqtj
Вроде мы обсуждали этот вопрос.

[Rak so dna]

hassword в сообщении #1675981 писал(а):

А можно поподробнее, хотя бы не решение, а план решения.

Пусть $f(x)=x^5-h_1x^4+h_2x^3-h_3x^2+h_4x-h_5$ — исходный многочлен с корнями $x_1\dots x_5$,

$F(x)=x^5-s_1x^4+s_2x^3-s_3x^2+s_4x-s_5$ — многочлен, корни которого являются $n$-ми степенями корней $f(x)$, тогда:

$h_1\dots h_5$ — основные симметрические многочлены от $x_1\dots x_5$
$s_1\dots s_5$ — основные симметрические многочлены от $x_1^n\dots x_5^n$

Осталось выразить $s_1\dots s_5$ через $h_1\dots h_5$

Это всегда возможно, например для $n=2$, имеем:

$s_1 = h_1^2-2h_2$
$s_2 = h_2^2 - 2h_1h_3 + 2h_4$
$s_3 = h_3^2 - 2h_2h_4 + 2h_1h_5$
$s_4 = h_4^2 - 2h_3h_5$
$s_5 = h_5^2$

Тоже самое получится, если сделать как сказал Null:
перемножить $f\left(\sqrt{x}\right)\cdot f\left(-\sqrt{x}\right)$

[hassword]

Null в сообщении #1675976 писал(а):

$F_5(x)=f(\varepsilon_1\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_2\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_3\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_4\sqrt[5]{x})\times f(\varepsilon_5\sqrt[5]{x})$ где $\varepsilon_i=\sqrt[5]{1}$, является многочелном от $x$

-- 22.02.2025, 12:42 --

Rak so dna в сообщении #1675994 писал(а):

Тоже самое получится, если сделать как сказал Null:
перемножить $f\left(\sqrt{x}\right)\cdot f\left(-\sqrt{x}\right)$

теперь понял.

[Евгений Машеров]

hassword в сообщении #1675974 писал(а):

Я бы с радостью. Но не существует формулы нахождения корней пятой степени.

...но существуют численные методы. Позволяющие тихо взгрустнуть по поводу отсутствия формулы, дающей решение в радикалах, а затем бодро получить все корни.

[hassword]

Евгений Машеров в сообщении #1676006 писал(а):

...но существуют численные методы.

Ну они не нужны, мы должны точно решить задачу. В этом и есть фишка этой задачи. Корни находим числено, а полином уже строго точно.

[B@R5uk]

Ну так если коэффициенты полинома являются целыми числами, то ничто не мешает посчитать корни численно, возвести их в степень, посчитать (каким-нибудь быстрым алгоритмом) снова коэффициенты и округлить результат до ближайшего целого, чтобы избавится от ошибок округления в процессе расчётов.

А если числа произвольные вещественные и нужны именно цифры (для работы), а явные не формулы (для дальнейшего анализа, например), то численный расчёт вообще предпочтительней. Будучи грамотно реализован, он может оказаться точнее, чем расчёт в лоб по формуле. Последние частенько любят вычитать большие близкие величины, что в связи с ограниченной разрядностью мантиссы представления вещественного числа в компьютере приводит к резкому падению точности результата.

[hassword]

B@R5uk
Ну можно и числено, я согласен. Просто все эти телодвижения с поисками корней и округления для меня кажутся сумбурными. Но это дело вкуса.