Какая научная методология в математике

[Verbery]

Заранее прошу прощения за наивный вопрос, но тем не менее хотелось бы глубже понять ответ на него. Вопрос такой: какая научная методология в математике? Как ученые в математике совершают открытия?

Для ясности приведу пример. В гумманитарных науках методология примерно такая:
1) собираем множество примеров какого-то явления. Чем больше, тем лучше.
2) смотрим на это множество примеров и пытаемся на его основе выявить какую-то закономерность

В естественных науках типа биологии ставится ряд экспериментов. На основе этих экспериментов делаются определенные выводы. Потом некоторые выводы проверяются набором следующих экспериментов.

Как метдологию можно описать в математике? Есть труды, где этим занимались (желательно классика)?

[Утундрий]

Математика — наука экспериментальная (с) В. И. Арнольд

Пример

Раскладываем по ямкам камушки. В первую ямку один камушек, во вторую на один больше чем в первую, в третью на один больше чем во вторую и так далее.

Рисуем у каждой ямки уникальную крокозябру: $1, 2, 3$ и так далее.

Берём все камушки из ямки $2$ и перекладываем их в ямку $1$.

Открытие! В ямке $1$ теперь столько же камушков, сколько и в ямке $3$.

Высекаем на стене пещеры первую математическую истину:

$$1+2=3$$

[Verbery]

Утундрий
Вы считаете, что для любого математического объекта можно поставить эксперимент?

[Утундрий]

Verbery в сообщении #1675744 писал(а):

Вы считаете, что для любого математического объекта можно поставить эксперимент?

Разумеется. Ка минимум — мысленный.

[drzewo]

Verbery в сообщении #1675739 писал(а):

Как метдологию можно описать в математике? Есть труды, где этим занимались (желательно классика)?

Собрание сочинений есть такое О науке Пуанкаре

[dgwuqtj]

Если утрировать, то в математике всё сводится к написанию доказательств. Если получилось что-то доказать, то это и будет открытием. Другое дело, что в реальности надо ещё придумать, что доказывать, как доказывать, да и определения тоже не всегда заранее известны. Ну так и в биологии надо тоже откуда-то понять, какие эксперименты проводить...

[Anton_Peplov]

Классики я не читал, но есть это:

Anton_Peplov в сообщении #1564499 писал(а):

Что такое математическое доказательство и зачем оно нужно? Как требования к доказательству менялись со временем? Что меняет компьютер в теории и практике математических доказательств? Что будут называть доказательством через сто лет? И как вообще выглядит работа современного математика? Этим вопросам посвящена книга Стивена Кранца, математика-исследователя с числом Эрдёша, равным 1, если вы понимаете, о чём я. Статья в англовики Steven G. Krantz убедительно показывает, что автор знает толк в математических доказательствах.

По ссылке подробности.

[talash]

Утундрий в сообщении #1675740 писал(а):

Математика — наука экспериментальная (с) В. И. Арнольд

Mathematics is an experimental science, and definitions do not come first, but later on. (С)Oliver Heaviside.
Математика — экспериментальная наука, и определения появляются не сначала, а после. (С)Оливер Хевисайд.

[vpb]

Verbery в сообщении #1675739 писал(а):

1) собираем множество примеров какого-то явления. Чем больше, тем лучше.

Verbery в сообщении #1675739 писал(а):

В естественных науках типа биологии ставится ряд экспериментов.

Отнюдь. Всякое открытие начинается прежде всего с того, что имеется некоторый вопрос, на который желательно ответить. Вот и учебник философии о том же пишет:

Спиркин, Основы философии (1988), гл.8, п.5 писал(а):

Всякое исследование начинается не с наблюдения и сбора фактов, а с попытки решения некоторой задачи, в основе которой всеrда лежит известное предположение, догадка, постановка проблемы.

К математике это, разумеется, тоже относится.

-- 20.02.2025, 22:42 --

(Предшествующее также предлагается вниманию некоторых неплохих, но излишне решительных людей, который буквально намедни окакали всю философию чохом, сплеча, за что были отправлены во временный отпуск. )

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1675740 писал(а):

Математика — наука экспериментальная (с) В. И. Арнольд

talash в сообщении #1675755 писал(а):

Mathematics is an experimental science, and definitions do not come first, but later on. (С)Oliver Heaviside.
Математика — экспериментальная наука, и определения появляются не сначала, а после. (С)Оливер Хевисайд.

У Арнольда, ИМХО, это утрирование ("в каждой шутке есть доля шутки"), а Хэвисайд был скорее физиком, чем математиком.

Конечно, вопросы к математикам зачастую приходят из эмпирических наук. Впереди планеты всей, физика, конечно, но и из других тоже: распределение Стьюдента было сделано в пивоварне Гиннеса, например.

Но имеются и обратные примеры, когда математические абстракции не имеют прикладного применения на момент построения, но позже могут (но не обязаны) это применение получить. Как это было с геометрией Лобачевского или некоторыми частями теории чисел, оказавшимися крайне востребованными в криптографии.

[talash]

EUgeneUS
да, есть такое, когда красивые математические конструкции находят практическое применения. Ещё кватернионы, которые не любил Хевисайд, считал их "нефизичными", но они оказались очень удобны в 3D, для задания относительных поворотов. Сам ими много пользовался.

На счёт эксперимента в математике. Я всегда вспоминаю вот этот случай:
Как считали число пи? [Veritasium]
https://vk.com/video-55155418_456241319
или ютуб https://www.youtube.com/watch?v=A3PL61fHzjs&t=470s

Когда была давно известна общая формула, имеющая конечное число членов справа, когда степень целое число. И только Ньютон додумался применить эту формулу для дробной степени и при подстановке получалось уже бесконечное разложение. Наверное не очень очевидно, что это могло сработать, раз никто долго даже не пытался это проделать, но вот сработало. Эксперимент доказал.

[vicvolf]

Методология математики существенно отличается от методологии гуманитарных и естественных наук, поскольку математика опирается на строгие логические рассуждения и доказательства. Методология математики основана на наблюдении, формулировке гипотез, строгом доказательстве или опровержении, обобщении и применении. Классические труды на эту тему есть у Пуанкаре, Пойа, Лакатоса, Гильберта и Гёделя.

[EUgeneUS]

talash в сообщении #1675834 писал(а):

На счёт эксперимента в математике. Я всегда вспоминаю вот этот случай:

Ролик неплохой, только в нём нет ни слова ни о каких экспериментах.
Всё тоже самое - манипуляции с абстрактными объектами (числами, рядами, площадями...)

[Anton_Peplov]

Порылся в своей библиотеке. Вот какие книги нашел (но ни одной из них не читал).

Классики:

Адамар. Исследование психологии процесса изобретения в области математики.
Александров, Колмогоров и др. Математика, ее содержание, методы и значение.
Гротендик. Урожаи и посевы.
Морделл. Размышления математика.
Пойа. Как решать задачу.
Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения.
Пойа. Математическое открытие.
Харди. Апология математика

Вероятно, не классики:

Веллеман. Искусство доказательства в математике. Курс лекций с упражнениями.
Купиллари. Математика - это просто! Доказательства.
Купиллари. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой.
Манин. Математика как метафора.
Успенский. Что такое аксиоматический метод.

(Оффтоп)

Где б еще найти время, чтобы все это прочесть, когда и на саму математику его не хватает.

[Martynov_M]

Verbery в сообщении #1675739 писал(а):

Какая научная методология в математике? Как ученые в математике совершают открытия?

Дано: нерешенная проблема математики.
Требуется: предоставить решение.
Методология: математически строгий стиль (без каких-либо предположений, домыслов). Только сухая математика.

В качестве примера вы, конечно, можете привести что угодно, но при условии, что ваша математическая модель всё это объясняет.
Прочитал недавно у одного математика: «Помните, что одна картинка говорит больше, чем тысяча слов».