Возьмём конкретное отображение

, оно взаимно-однозначно и

. Но тут нужны и ассоциативность, и обратимость

. Автоморфизмом оно, конечно, не будет, групповые структуры же разные.
Кому нужно отображение группы, не сохраняющее нейтральный элемент?
Для групп оно не очень нужно. А так возьмём алгебру октонионов

. У неё группа автоморфизмов — это исключительная компактная руппа Ли

, а группа автотопий (линейных отображений в себя, которые примерно так модифицируют умножение) —

. Если теперь в качестве автотопий рассматривать тройки отображений

со свойством

, а не только компоненту

, то получается уже

и из этой конструкции легко получить тройственность, т.е. явно предъявить представителей группы внешних автоморфизмов

спинорной группы. Причём над конечными полями это тоже работает, даже вообще над всеми коммутативными кольцами и всеми композиционными алгебрами ранга

.
-- 18.02.2025, 09:58 --Ещё есть груды, это алгебраические структуры, полученные забыванием единицы в группе, с операцией

. Они не очень интересны, но, например, смежные классы в группе по всем её подгруппам (хоть левые, хоть правые) — это в точности непустые подгруды. И в груде операция левого сдвига

будет автоморфизмом.