Экзотические группы

[Dedekind]

Во вводных учебниках по теории групп часто дают упражнения такого типа: на вещественных числах как-то нестандартно определяется операция умножения, затем просят доказать, что некоторое подмножество $\mathbb{R}$ образует группу. Например

Цитата:

Пусть G - множество ненулевых вещественных чисел с операцией $x\cdot y = x+y+1$. Доказать, что G изоморфно $\mathbb{R}$.

Цитата:

Доказать, что множество $\{x\in \mathbb{R}:x\ne -1\}$ с операцией $x\cdot y = x+y+xy$ образует абелеву группу.

и т.д. Вопрос: есть ли какие-то содержательные задачи, которые могут приводить к группам с операциями такого типа? Или это просто учебные упражнения на оттачивание техники?

[mihaild]

Не совсем такое, но близкое: если в качестве сложения и умножения взять $\min$ и сложение (понятно что это уже не кольцо, но коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность сохраняются), то матрица расстояний в графе равна $n$-й (или любой более высокой) степени матрицы весов.

[dgwuqtj]

Если в любой группе $(G, \cdot)$ взять новую операцию $x * y = x \cdot a \cdot y$ для какого-то элемента $a$, то получится группа, изоморфная исходной, это не очень интересно. Но других контекстах (лупы Муфанг, полугруппы, ассоциативные кольца, альтернативные кольца) такая процедура нетривиальна, называется гомотопом и иногда полезна.

Что касается $x + y + x y$, то это же просто сдвиг обычной группы по умножению, чтобы $1$ попал в $0$. Так удобно делать при работе с алгеброй Ли какой-то группы Ли, например. А ещё в такой записи на это можно смотреть как на формальный групповой закон.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1675273 писал(а):

взять новую операцию $x * y = x \cdot a \cdot y$ для какого-то элемента $a$, то получится группа, изоморфная исходной, это не очень интересно.

Именно изоморфизм, не автоморфизм? Потому что я тут поигрался с $C_3$ и $a=1$ и нейтральным стал судя по всему элемент 2. В группе Клейна нейтральным становится сам элемент a. Как-то это не правильно. Кому нужно отображение группы, не сохраняющее нейтральный элемент? Это кажется даже изоморфизмом не является.

[dgwuqtj]

Возьмём конкретное отображение $f \colon G \to G,\, g \mapsto a \cdot g$, оно взаимно-однозначно и $f(x * y) = f(x) \cdot f(y)$. Но тут нужны и ассоциативность, и обратимость $a$. Автоморфизмом оно, конечно, не будет, групповые структуры же разные.

B@R5uk в сообщении #1675274 писал(а):

Кому нужно отображение группы, не сохраняющее нейтральный элемент?

Для групп оно не очень нужно. А так возьмём алгебру октонионов $O$. У неё группа автоморфизмов — это исключительная компактная руппа Ли $G_2$, а группа автотопий (линейных отображений в себя, которые примерно так модифицируют умножение) — $\mathrm{SO}(8)$. Если теперь в качестве автотопий рассматривать тройки отображений $(f, g, h)$ со свойством $f(x y) = g(x) h(y)$, а не только компоненту $f$, то получается уже $\mathrm{Spin}(8)$ и из этой конструкции легко получить тройственность, т.е. явно предъявить представителей группы внешних автоморфизмов $\mathrm S_3$ спинорной группы. Причём над конечными полями это тоже работает, даже вообще над всеми коммутативными кольцами и всеми композиционными алгебрами ранга $8$.

-- 18.02.2025, 09:58 --

Ещё есть груды, это алгебраические структуры, полученные забыванием единицы в группе, с операцией $(x, y, z) \mapsto x y^{-1} z$. Они не очень интересны, но, например, смежные классы в группе по всем её подгруппам (хоть левые, хоть правые) — это в точности непустые подгруды. И в груде операция левого сдвига $x \mapsto g x$ будет автоморфизмом.

[Dedekind]

Спасибо всем ответившим! Все это пока за пределами моего понимания, но на будущее записал:)

-- 20.02.2025, 10:25 --

mihaild в сообщении #1675261 писал(а):

матрица расстояний в графе равна $n$-й (или любой более высокой) степени матрицы весов

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

[mihaild]

Dedekind в сообщении #1675621 писал(а):

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

В какую примерно сторону?
Про алгоритмы на графах - Дасгупта, "Алгоритмы", или Кнут. Про некоторые свойства покрытий, раскрасок и т.д. - Чашкин, "Дискретная математика". А дальше куча всего.

[Anton_Peplov]

Dedekind в сообщении #1675621 писал(а):

Кстати, можете, пожалуйста, посоветовать что-то для начального знакомства с графами?

Вопрос был не ко мне, но все же осмелюсь порекомендовать: Белов, Воробьев, Шаталов. Теория графов. Всего понемногу: алгоритмы, топологические инварианты, раскраски и т.д. Изложение математически строгое, все определения в конечном счете сводятся к теории множеств. Правда, как следствие, язык довольно тяжелый. Еще небольшой минус: стремление к максимальной общности заставляет авторов выбрать не самую удобную, на мой взгляд, терминологию, когда граф, мультиграф и ориентированный граф - синонимы.

Есть еще хороший учебник по применению графов в теории коллективных решений (паросочетания, теорема Эрроу и вот это все). Алексеров, Хабина, Шварц. Бинарные отношения, графы и коллективные решения.