Квантование в переменных действие угол

[pppppppo_98]

Читаю тут Пригожина Неравновесная статистическая квантовая механика. Там он исходя из уравнения Лиувилля, переходит к аппарату описания распределения вероятностей, основанном на формальном сходстве пуассоновой скобок (после домножения на i) c квантовым коммутатором (не знаю уж чье авторство в этом подходе его или Хопфа). Затем он переходит к описанию действие-угол со ссылками с примерно одинаковыми изложения в книгах этого вопроса Тер-Хаара и Голдстейна по классической механике. Собственно о них дальше речь и пойдет.

Итак сначала простейший случай - квадратичный гармонический осциллятор. В указанных выше книгах путем канонических преобразований от привычных переменных $(p,q)$ к переменным действие угол $(J,\alpha)$ и приходят к классическому гамильтониану $H=\frac{1}{2 m} p^2 +\frac{1}{2} m \omega^2 q^2= \omega J$, где m - масса осциллятора, $\omega$ - частота колебаний,а значение J - приращение действия за один период, $\alpha$ - сопряженная циклическая координата. И получается что у нас конфигурационное пространство изоморфно окружности,и фазовое пространство изоморфно конусу.

Перейдем теперь к вантовому случаю. Чему нас учит семья и школа. Что надо перейти от классической скобки Пуассона сопряженных переменных ${p,q}=1$ перейти к квантовой скобке $[\hat{p},\hat{q}]=-i$. Ну так и поступим в отношении переменных действие/угол. И опять возьмем в качестве конфигурационного пространства окружность $\mathbf{S}$ с координатой $\alpha$. Тогда возьмем реализацию гильбертова пространства на котором будет происходить драма квантования в виде $L_2(\mathbf{S})$ на окружности (и вот тут мне уже видится косяк, но не знаю как его обойти).Тогда $\hat{\alpha}=\alpha$,а формально $\hat{J}=-i\frac{\partial}{\partial \alpha}$... вот тут сейчас и вылазит косяк. Если рассматривать формально то $\hat{J}$ - имеет непрерывный спектр на всей числовой оси $\mathbf{R}$, но тогда во всех точках этой оси кроме точек $\mathbf{Z}$, не выполняется периодичность. И стало быть нам нужно ограничить спектр оператора $\hat{J}$ точками целых чисел $sp(\hat{H})=\omega \mathbf{Z}$. Но из процедуры квантования в естественных координатах нам известно $sp(\hat{H})=\omega( \mathbf{Z}+\frac{1}{2})$.

Кажется что выход из из этой ситуации переход к другому гильбертовому пространству - в котором моды только нечетные числа.... Но это только хвост вытащили... Теперь увязнут ноги. В упомянутых букварях по классической механике, при рассмотрении переменных действие/угол рассматривается не только простейший случай гармонический осциллятора, но и любой другой. А давайте мы рассмотрим теперь обобщенный ангармонический осциллятор в одномерном пространстве с классическим гамильтонианом $H=\frac{1}{2 m} p^2 + U f(q^2)$, где $f(q^2)$ - асимптотически возрастающая функция.Ясен пень что любое решение динамики определяемой этим гамильтонианом будет периодическая траектория. причем частота уже разная на каждой траектории. Снова из теории изложенной в фолиантах возможен переход к переменным действие/угол, в которой гамильтониан уже будет $H=h(J)$, где $J=\oint p\, dq$. И тогда проводя снова туже процедуру мы получим еще более худшую ситуацию. Ибо как написано в 3 книге бытия стих 48 (Условие квантования Бора-Зоммерфельда) цитата 48.6 $\oint p\,dq=2\pi \hbar(n+\gamma)$, где добавка $\gamma$ порядка 1- равная 1/2 для гармонической осциллятрора уже произвольное действительное число, и как переходить теперь от гильбертова пространства периодических функций к иному простраству, сохраняя при этом условие коммутативности для меня вообще непонятно.

Что скажут знатоки. Как выбирать гильбертово пространства в котором происходит квантование, и как реализуются в нем операторы канонических переменных
https://alexandr4784.narod.ru/l03/l3_gl07_48.pdf

[amon]

pppppppo_98 в сообщении #1674825 писал(а):

приходят к классическому гамильтониану $H=\frac{1}{2 m} p^2 +\frac{1}{2} m \omega^2 q^2= \omega J$

Это Вы, по-моему, вляпались в старую нерешенную проблему квантовой механики - что такое оператор фазы. Для осциллятора, с точностью до с-числового множителя, оператор действия совпадает с гамильтонианом. Фаза - канонически сопряженная переменная к действию, а канонически сопряженной переменной к энергии, которая почти действие, будет время, а оно - не оператор. На эту тему много копий переломано, начиная с Дирака.

[pppppppo_98]

amon в сообщении #1674840 писал(а):

Фаза - канонически сопряженная переменная к действию, а канонически сопряженной переменной к энергии, которая почти действие, будет время, а оно - не оператор.

А чем тогда этот гамильтониан будет отличаться от гамильтониана одномерного ротатора на окружности $\hat{H}=\hat{M}$ (ну или $\hat{H}=\hat{M}^2$), где $\hat{M} = - i \frac{\partial}{\partial\varphi}$.Здесь ведь проблем нет.

[amon]

pppppppo_98 в сообщении #1674845 писал(а):

А чем тогда этот гамильтониан будет отличаться от гамильтониана одномерного ротатора на окружности

А там та же беда. Гляньте:
Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике. 1.4. Угол как оператор.
Только то, что там написано - это одно из мнений. Есть и другие.

[realeugene]

А это всё связано с соотношением неопределённости для классической фазы электромагнитной волны и числом фотонов в ней? Может быть и у состоящей из нескольких атомов определённой молекулы вообще нет определённого положения в пространстве?

[amon]

realeugene в сообщении #1675018 писал(а):

А это всё связано с соотношением неопределённости для классической фазы электромагнитной волны и числом фотонов в ней?

Там проблема, как и в попытках ввести оператор времени, в ограниченности снизу спектра оператора Гамильтона, он же - действие. Поэтому для $\hat{M}$ непроходимых проблем нет ($\hat{M} = - i \frac{\partial}{\partial\varphi}$), а для $\hat{H}=\hat{M}^2$ проблемы появляются.

[Утундрий]

amon в сообщении #1675052 писал(а):

оператора Гамильтона, он же - действие

Энергия, вообще-то.

[pppppppo_98]

amon в сообщении #1674945 писал(а):

Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике. 1.4. Угол как оператор.
Только то, что там написано - это одно из мнений. Есть и другие.

Ну прочитал первые 4 параграфа этой книги. Пайрелс говорит мол если перейти вместо $\hat{\varphi}$ к $\hat{P}=e^{i\hat{\varphi}}$, значительная часть сложностей момента исчезнет... Как это поможет в рассматриваемом случае я не представляю... Я не могу понять как вообще реализовать гильбертово пространство на угловой переменой $\alpha$, то есть в виде волновых функций $|\psi\rangle\in L_2\left(\mathbf{S}\right)$? спектр то ведь в случае ангармонического осциллятора $\operatorname{Sp}(\hat{H})=\{h_n=n+\gamma_n|n\in\mathbf{Z}_+\}$ имеет в общем случае трансцедентные значения $\gamma_n$. Формальные выражения $e^{i h_n \alpha}$ - в этом случае бессмысленны. Не понятно что можно смести мусор под ковер, и построить формальное пополнение линейной оболочки $\mathbf{L}=\left\{|0\rangle,|1\rangle},\dots,|i\rangle,\dots\right\}$ c $\langle i|j\rangle=\delta_{ij}$, и ввести $\hat{H}=\sum_{i=0}^{\infty}h_i |i\rangle\langle i|$, но только чтобы спектр найти нужно решить задачу на собственные собственные значения в других координатах

[amon]

Утундрий в сообщении #1675054 писал(а):

Энергия, вообще-то.

И энергия тоже. Для обычного осциллятора $H=\omega J,$ и действие совпадает с гамильтонианом с точностью до числового множителя.

pppppppo_98 в сообщении #1675077 писал(а):

спектр то ведь в случае ангармонического осциллятора

Даже для гармонического есть большие сложности. Доказано (А. Л. Алимов, Е. В. Дамаскинский, Самосопряженный оператор фазы, ТМФ, 1979, том 38, номер 1, 58–70), что "хорошего" оператора фазы не существует, а то, что можно построить физиков не очень устраивает. Есть обзор в УФН по этой задаче: Ю. И. Воронцов, Фаза осциллятора в квантовой теории. Что это такое ``на самом деле''? УФН т. 172 №8 стр. 907.