Зазеркальный анализ

[B@R5uk]

А вы учли, что когда вы считаете определённый интеграл, то получаете площадь, которая ограничена функцией только с одной стороны? С другой стороны она ограничена отрезком на оси координат, а с ещё двух других — отрезками, параллельными другой оси координат. Когда вы поворачиваете координаты все эти отрезки тоже поворачиваются. А интеграл в новых координатах будет уже площадью фигуры с совсем другими ограничивающими отрезками, под углом к старым.

[prohozhi]

(Я немного пробовал пойти сначала -- через прямоугольники с всё убывающей шириной, как интегральное исчисление объясняли в школе, и внести корректировку на $\sqrt{2}$, но очень бегло, т.е. просто времени на это нужно уйму и пока ни к чему результативному там не пришёл. Если хотите -- попробуйте, это интересная тема, а пока я ещё доберусь, если вообще доберусь).

[B@R5uk]

Не, спасибо, у меня свои интересные задачи есть. Я вам вбросил идею для опробования, (если ещё нужно, разумеется, проблемы имеют свойство иметь строк годности), а в саму задачу я даже не вникал. Я просто заметил, что у вас там нигде нет слагаемого в духе $dx/\sqrt{2}$ или $xdx/\sqrt{2}$ и посчитал необходимым это отметить. Так, на всяких пожарный.

[prohozhi]

(Я хотел сделать то же самое :) Потому что методов много, интегралы я знаю так себе, а задача очень интересная. И ряды ещё -- вдруг можно взять какого-нибудь Римана на $1 млн?.. В зазеркальном анализе все ряды можно представить иначе)

[Евгений Машеров]

По-моему, Вы стреляете из очень уж крупного калибра. Топология, бесконечность...
Я уже советовал - нарисовать, потом нарисовать повёрнутое, будет видно что интегрировать и по чему. И после аккуратных выкладок обе площади будут равны.
Ну, или подробно распишите Ваши выкладки, поищем, где ошибка. Авось получится новый софизм для разбора гг. студентами.

[Евгений Машеров]

prohozhi в сообщении #1674498 писал(а):

На любой чох WolframAlpha твердит "Integral does not converge" -- это вообще тихий ужас

Ну, интеграл от единицы до бесконечности от $\frac 1 x$ действительно расходится. Это сходно с суммированием гармонического ряда, который расходится, как ещё Николя Орезм, епископ Лизье, в 1360 году установил. Либо как-то преобразовать выражение, либо интегрировать до M, а потом устремить M к бесконечности.

[prohozhi]

Зависит, над каким множеством брать гармонический ряд -- $\mathbb R$, $\mathbb Q$ или $\mathbb N$. "Истончённый" гармонический ряд Кемпнера без некоторых членов сходится --- если округлить члены до целых, ряд бы сошёлся к $2$. Например,

$$\lim_{n \to \infty}{\sum_1^n \left\lfloor \frac{1}{n} \right\rfloor} = 2$$

.

Изначально я рассматривал неограниченные и бесконечные циклы программ -- по определению неограниченные это те, которые гарантированно завершаются, хотя неизвестно когда. А бесконечные -- которые гарантированно не завершаются никогда. И записал:

$$\lim_{n \to \infty}{\sum\limits_1^{\log n} 1} = \lim_{n \to \infty}{\int\limits_1^{\lfloor\log n\rfloor} dx} \Bigg|\begin{matrix}y = \operatorname{dig}^{-1} x\\x = \operatorname{dig} y\end{matrix}\Bigg| = \lim_{n \to \infty}{\int\limits_1^n \left\lfloor\frac{1}{y}\right\rfloor dy} = \lim_{n \to \infty}{\sum\limits_1^n \left\lfloor\frac{1}{n}\right\rfloor}$$

--- где $\operatorname{dig} x$ является интегралом от $\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$, А $\log n$ в начальной сумме -- неограниченное, но конечное количество единиц, аналогично количеству цифр в записи натурального числа. У меня есть её график, это ломаная линия, напоминающая логарифм, но в какой-то момент эта ломаная становится горизонтальной. Возможно, это несколько спорно или не принято -- не хочется затевать обсуждение предыстории.

Кстати, по поводу предела: если мы гомеоморфно отобразим прямую $OX$ на интервал $(-1; 1)$, то будет понятнее, о чём я сказал -- несмотря, что перед нами бесконечность, но мы видим её всю целиком и сразу.

[yesterday]

prohozhi в сообщении #1674523 писал(а):

Вообще, всё это выросло из мечт о конечном, но неограниченном, и есть ли степени неограниченности, такие же как алефы бесконечности.

prohozhi в сообщении #1674724 писал(а):

Кстати, по поводу предела: если мы гомеоморфно отобразим прямую $OX$ на интервал $(-1; 1)$, то будет понятнее, о чём я сказал -- несмотря, что перед нами бесконечность, но мы видим её всю целиком и сразу.

Что-то ржу, простите. Ваш клиент)

[prohozhi]

Можно ламерам не захламлять тему?

[yesterday]

Ну, после того, как научитесь делать нормально замену переменных, так сразу.
Интеграл Римана же просто банальный линейный функционал, работающий по правилу: $(f(x),a\subset\mathbb{R}\to b\in\mathbb{R})$. Ему абсолютно всё равно, в каких координатах вы его считаете, если преобразования между координатами "хорошие". Если хотите поиграться с несобственным интегралом, определение не меняется.

[drzewo]

prohozhi в сообщении #1674739 писал(а):

Можно ламерам не захламлять тему?

Вы здесь ламер

[prohozhi]

Извините, я вас характеристику личности не спрашивал. Однако, человек, который срывается на оскорбление, не вникая в то, что гомеоморфизм есть взаимно-однозначное соответствие, такого эпитета заслужил. Чего возбудились все остальные -- мне не ясно. Есть рассуждения, в них могут либо быть ошибки, либо нет. В ваших последних сообщениях нет формул, позволю себе не отвечать.

[Red_Herring]

prohozhi в сообщении #1674724 писал(а):

$$\lim_{n \to \infty}{\sum_1^n \left\lfloor \frac{1}{n} \right\rfloor} = 2$$

Про Зазеркалье я не знаю, но в нашем мире за такие ошибки ставят F в Calculus I. (чему равен член ряда при $n\ge 2$?)

[Евгений Машеров]

prohozhi в сообщении #1674724 писал(а):

Зависит, над каким множеством брать гармонический ряд -- $\mathbb R$, $\mathbb Q$ или $\mathbb N$. "Истончённый" гармонический ряд Кемпнера без некоторых членов сходится --- если округлить члены до целых, ряд бы сошёлся к $2$. Например,

$$\lim_{n \to \infty}{\sum_1^n \left\lfloor \frac{1}{n} \right\rfloor} = 2$$

.

Изначально я рассматривал неограниченные и бесконечные циклы программ -- по определению неограниченные это те, которые гарантированно завершаются, хотя неизвестно когда. А бесконечные -- которые гарантированно не завершаются никогда. И записал:

$$\lim_{n \to \infty}{\sum\limits_1^{\log n} 1} = \lim_{n \to \infty}{\int\limits_1^{\lfloor\log n\rfloor} dx} \Bigg|\begin{matrix}y = \operatorname{dig}^{-1} x\\x = \operatorname{dig} y\end{matrix}\Bigg| = \lim_{n \to \infty}{\int\limits_1^n \left\lfloor\frac{1}{y}\right\rfloor dy} = \lim_{n \to \infty}{\sum\limits_1^n \left\lfloor\frac{1}{n}\right\rfloor}$$

--- где $\operatorname{dig} x$ является интегралом от $\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$, А $\log n$ в начальной сумме -- неограниченное, но конечное количество единиц, аналогично количеству цифр в записи натурального числа. У меня есть её график, это ломаная линия, напоминающая логарифм, но в какой-то момент эта ломаная становится горизонтальной. Возможно, это несколько спорно или не принято -- не хочется затевать обсуждение предыстории.

Кстати, по поводу предела: если мы гомеоморфно отобразим прямую $OX$ на интервал $(-1; 1)$, то будет понятнее, о чём я сказал -- несмотря, что перед нами бесконечность, но мы видим её всю целиком и сразу.

Распад логики.
Левое выражение в равенстве, очевидно, бесконечность, правое, как утверждает топикстартер, равно двум...

[prohozhi]

Евгений, ну доколе же эта вонючая серость и нежелание разбираться будут брать верх? Очевидно, что такими скобками помечено округление или же отбрасывание части от дробной части числа. Округлять можно до целых, а можно -- до рациональных. Отсюда -- предположение, что при повороте возникают ошибки округления, связанные с применением вещественных чисел вместо рациональных. Таким образом имеем сумму лишних "хвостов". Но это не точно -- просто наивное интуитивное предположение.