Зазеркальный анализ

[prohozhi]

Поделюсь своей идеей. Почему-то при повороте осей координат на $45^o$ интегралы не совпадают.

Будем вращать координаты линейным преобразованием $\vec r = T \vec r$ изменения базиса. В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом $\theta$ с матрицей поворота в декартовой системе координат:

$$T(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & \mp\sin\theta \\ \pm\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = \exp\begin{pmatrix}0 & \mp\theta \\ \pm\theta & 0\end{pmatrix}$$

Совпадение двух гипербол: $1/x$ и канонического.
Каноническое уравнение гиперболы: $y^2 - x^2 = 2$, откуда $y = \sqrt{x^2 + 2}$, уравнение прямой на $45^\circ$ к оси OX: $y = x$. Тогда разность этих двух функций, нормированная на $\sqrt{2}$, будет равна разности функции $y = 1 / x$ и оси абсцисс $y = 0$ в точке, лежащей на той же окружности $x^2 + y^2 = R^2$, что и тч. $y = x$.

Те же самые графики функций в <<зазеркальной>> системе координат, развёрнутой относительно исходной на $45^\circ$ имеют совершенно другое, <<дуальное>> представление в виде рядов. Несмотря, что графики не должны <<шевелиться>> при повороте листка бумаги, прямой расчёт $WolframAlpha$ не даёт совпадения, они шевелятся.

$$\int{\sqrt{x^2-2} - (x^2 - 1) / \sqrt{x^2}}$$

График, который должен совпадать с ОХ

Также:

$$\lim_{x \to \infty} \int\left(\frac{1}{x} - \left(x - \sqrt{x^2 - 2}\right)\right) dx = -\frac{1}{2} - \log(2)$$

Либо мы <<уловили>> ошибки округления, либо бесконечно- удалённую точку, либо что-то ещё, неизвестное и интересное. Если аккуратный расчёт не устранит проблему --- противоречие.

[Евгений Машеров]

При повороте осей функции вполне совпадают
$x=\frac {u+v}\sqrt 2$
$y=\frac {u-v}\sqrt 2$
$y=\frac 1 x$ $\Rightarrow$ $u^2-v^2=2$
$y=0$ $\Rightarrow$ $u=v$

Можно уточнить, что вызвало затруднение?

[prohozhi]

Да, гипербола $1/x$ совпадает с гиперболой в канонической форме. Берём интеграл от $1/x$ и интеграл от $y = \sqrt{x^2 +2} - x$, т.е. из уравнения в канонической форме вычитаем прямую $y = x$, и затем берём разность двух интегралов. Поскольку функции совпадают при повороте, разность интегралов (быть может с коэффициентами типа $\sqrt 2$) должна дать строгий $0$.

[Евгений Машеров]

Не должна. У Вас интегрирование по разным переменным.

[prohozhi]

Площадь $S$-то одна... Лень было ни за так работать, сейчас пересчитаю в области нуля, но вроде как не получалось.

[Евгений Машеров]

Нарисуйте области, по которым интегрируете. Увидите причину.

[Евгений Машеров]

Да, и в выражении для матрицы поворота через экспоненты у Вас i не пропущено?

[prohozhi]

Нет, всё корректно с матрицей.
Вот, считаю ещё раз интегралы:

$$\int_0^\infty{\left(\sqrt{x^2 + 2} - x\right) dx} - \int_0^1{x dx} - \int_1^\infty{\frac{1}{x} dx} = ?$$

Первый -- это площадь между гиперболой в канонической форме и $y = x$, а второй -- между осью абсцисс и и двумя функциями: $y = x$ при $0 \le x \le 1$, и $y = \frac{1}{x}$ при $x \ge 1$.
Как это посчитать? На любой чох WolframAlpha твердит "Integral does not converge" -- это вообще тихий ужас. При каком-то варианте расчёта хотя бы константа получается. Но не ноль.

-- 12.02.2025, 20:31 --

(Ну, допустим, $\frac{1}{2}$ в первом посте -- это тот забытый треугольничек вблизи $0$, ну а $\log{2} \approx 1$-то откуда?)

[wrest]

prohozhi в сообщении #1674498 писал(а):

Как это посчитать? На любой чох WolframAlpha твердит "Integral does not converge" --

разбить на два интервала $[0;1];[1;+\infty]$ и воспользоваться линейностью интеграла, всё занести в один.
$[0;1]$ https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... rom+0+to+1
$[1;+\infty]$ https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... o+infinity

[prohozhi]

$$\int_0^1{\left(\sqrt{x^2+2} - x\right)dx} + \int_1^\infty{\left(\sqrt{x^2+2} - x - \frac{1}{x}\right)dx} - \int_0^1{x dx} = \frac{\ln 2}{2} \ne 0$$

Расчёт в WolframAlpha

-- 12.02.2025, 21:12 --

(Была у меня мысль прикрутить сюда комплексные числа, в общем, если кто заинтересуется, и у кого ровно $0$ получится -- тот и молодец)

[dgwuqtj]

Ну так правильно, вы же в несобственном интеграле берёте у повёрнутой гиперболы участок длины порядка $t \sqrt 2$, а у обычной — длины порядка $t$. Вот если брать одинаковой длины, т.е. $\lim_{t \to +\infty} \bigl(\int_1^t (\sqrt{x^2 + 2} - x)\, dx - \int_1^{t \sqrt 2} \frac {dx} x\bigr)$ вместо второго слагаемого, всё должно быть нормально.

[prohozhi]

(Надо подумать, так-то я тоже сначала считал на окружности, но навскидку, и не получалось. Похоже на правду. Всё же странновато, что одна бесконечность длиннее другой на $S = \frac{\ln 2}{2}$)

[dgwuqtj]

Площадь под графиком логарифма растёт как $\ln x$, вот и получается, что $\ln(t \sqrt 2) - \ln t = \ln \sqrt 2 = \frac {\ln 2} 2$. Причём $\ln(t + O(1)) = \ln t + o(1)$ при $t \to +\infty$, поэтому не имеет значения, под каким углом эту бесконечность обрезать.

[prohozhi]

Когда встречается какой-нибудь интеграл $\int_0^{\infty}{\cdots dx}$, вот и думай теперь, как $x$ стремится к бесконечности -- прямо или как $x = t \sqrt{2}$. Т.е. формально я, конечно, понял, а содержательно -- надо подумать. Вообще, всё это выросло из мечт о конечном, но неограниченном, и есть ли степени неограниченности, такие же как алефы бесконечности.

-- 12.02.2025, 22:55 --

Да, и предел тем и отличается от неограниченного значения, что выводит за пределы рассматриваемого пространства. На мой взгляд. Т.е. строгий $0$ мы должны всё-таки по идее получить....

[prohozhi]

Вот ещё цитата: "Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера". Т.е. все, значит после взятия предела никаких хвостов оставаться не должно. Похоже, что здесь мы используем лишь неограниченное, но конечное, значение и считаем, что берём предел, а на самом деле -- нет.