Интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла

[apv]

Помогите понять концептуальную разницу. Может я в чем ошибаюсь, но вот мое представление:

Цитата:

Интегральные уравнения являются удобным инструментом для анализа поля в больших областях пространства. Они описывают, как распределение зарядов в определенной области формирует
глобальную структуру поля.

В отличие от интегральных, дифференциальные уравнения поля устанавливают связь между производными поля и его источниками
в отдельной точке пространства. То есть, дифференциальные уравнения позволяют исследовать локальную структуру поля.

Вместе эти подходы позволяют описывать поле как в отдельных точках, так и в глобальном масштабе.

[drzewo]

обратите еще внимание на то, какие требования гладкости предъявляются к функциям, входящим в дифференциальные уравнения и в интегральные

[apv]

Требования к гладкости для интегральных уравнений могут быть менее строгими, чем для дифференциальных. Кроме того, для диф. уравнений еще необходимы граничные условия.

[drzewo]

Такое у меня ощущение, что я говорю с чат-ботом

[apv]

:) Извините. Но я не понял правильно ли понял ваше замечание.

[drzewo]

Фразы, которые Вы постите, по уровню осмысленности очень похожи на сгенерированные.

[realeugene]

apv в сообщении #1672408 писал(а):

Помогите понять концептуальную разницу.

Они про одно и то же, но в одних внутри - производные полей, в других - интегралы. Что удобнее в конкретном случае, то и используют.

Производные удобнее, например, для численного моделирования, когда достаточно простые элементы модели связаны уравнениями только на своих границах. А вот правила Кирхгофа - это следствие интегральных уравнений.

[apv]

Может это уже следствие общения с чат-ботами, не знаю.

Вот, что мне нужно. Правильно ли я понимаю разницу между интегральной и дифференциальной формами уравнений, которые я написал в первом посте? Да, можно еще добавить информацию о гладкости решений. Но может я еще что-то совсем существенное упускаю, либо я вообще не правильно понимаю разницу.

[Mihr]

apv в сообщении #1672408 писал(а):

Помогите понять концептуальную разницу.

Сначала помогите понять, что такое "концептуальная разница" Мне кажется, что в лексиконе науки такого понятия нет. (Хотя, вполне возможно, я не прав).

apv в сообщении #1672410 писал(а):

для диф. уравнений еще необходимы граничные условия

Поэтому уравнения Максвелла в интегральной форме обладают несколько большей общностью, чем в дифференциальной.

Стоит также заметить, что ни тот, ни другой набор уравнений не является полным. Для решения задач электродинамики требуется ещё наличие т.н. материальных уравнений.

[drzewo]

Основная разница состоит именно в гладкости решений. Для достаточно гладких решений интегральные уравнения эквивалентны дифференциальным.

[apv]

А для негладких решения неэквивалентны, выходит? Но они же об одних и тех же полях. Я тут не пойму немножко.

-- Вс фев 02, 2025 14:57:21 --

Mihr в сообщении #1672419 писал(а):

Сначала помогите понять, что такое "концептуальная разница"

Сложно объяснить, это что-то типа "гносеологической разницы". Ну например, для решения интегрального уравнения, нам надо знать положение источников где-то далеко. А для решения дифференциальных - нам надо знать как меняется поле в данной точке пространства. Т.е. смысл в этих уравнениях различный. Ну как например, между интегральным принципом наименьшего действия в механике и дифференциальными уравнениями Лагранжа.

[drzewo]

apv в сообщении #1672421 писал(а):

Ну как например, между интегральным принципом наименьшего действия в механике и дифференциальными уравнениями Лагранжа.

Вот принцип наименьшего действия как раз позволяет работать с негладкими решениями. Например, с помощью принципа наименьшего действия можно получить соотношения на скорости в момент удара.

[realeugene]

Понятие точечных зарядов противоречиво, но часто удобно и используется. Нужно только не забывать, что разрывов в физике нет, и они - предельные переходы, которые могут или приводить к осмысленным приближениям, или нет. В интегральных уравнениях осмысленные результаты с разрывами получаются чаще.

[apv]

Ну хорошо, как мне дополнить/изменить цитату в первом посте?

Цитата:

Интегральные уравнения являются удобным инструментом для анализа поля в больших областях пространства. Они описывают, как распределение зарядов в определенной области формирует
глобальную структуру поля. Кроме того интегральные уравнения применимы и для случаев, когда у поля есть разрывы.

Так?

-- Вс фев 02, 2025 15:12:34 --

realeugene в сообщении #1672423 писал(а):

Нужно только не забывать, что разрывов в физике нет, и они - предельные переходы, которые могут или приводить к осмысленным приближениям, или нет.

А ударные волны?

[drzewo]

Давайте для детального разговора пригласим сюда amon
я рассуждаю с общих позиций как математик, а amon
про разрывы в полях и бывают ли они там знает больше