Волновые пакеты для описания частиц

[Ascold]

Ко мне обратился студент, у них в методичке написано, что "поскольку волновой пакет чрезвычайно быстро расплывается, поэтому для описания частиц его использовать нельзя, но сама идея привела к соотношению неопределённостей, за этим мы его и использовали" и на примере протона показано, что соотв. ему пакет удваивает размер за очень быстрое время.

Тут я подзавис: всегда интерпретировал эту ситуацию так: вот пусть есть свободная частица, в какой-то момент мы с какой-то точностью померили, где она(т.е. сформировали связанный с ней пространственно узкий волновой пакет), а затем предоставили ей свободный полёт. Закона движения и траектории у неё нет, следовательно, где она будет через некоторое время, мы знать точно не можем(с каким там импульсом и куда полетит - неясно, его неопределённость высока), и чем больше времени прошло, тем хуже поддаётся определению её положение - это и соответствует расплыванию некогда узкого волнового пакета. Я прав или нет?

[Osmiy]

Расплывание пакета называется дисперсией. Вы какую дисперсию имеете в виду? Ту, которую предсказывает уравнение Шрёдингера?

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1670737 писал(а):

всегда интерпретировал эту ситуацию так

Ключевое слово "интерпретировал". За ним кроется очень много всего помимо волнового пакета и прежде всего правило Борна для вероятностей и соответствующий закон изменения волновой функции при взаимодействии с измерительным прибором. Вот если всё это добавить к волновому пакету, то получается машинерия, не противоречащая наблюдаемым корпускулярным свойствам квантовых частиц. А сам по себе волновой пакет никак не годится в качестве модели частицы (даже и квантовой) и именно потому что он расплывается.

[Ascold]

warlock66613 в сообщении #1670740 писал(а):

Ключевое слово "интерпретировал". За ним кроется очень много всего помимо волнового пакета и прежде всего правило Борна для вероятностей и соответствующий закон изменения волновой функции при взаимодействии с измерительным прибором. Вот если всё это добавить к волновому пакету, то получается машинерия, не противоречащая наблюдаемым корпускулярным свойствам квантовых частиц.

Можно чуть точнее? Пусть летит частица с каким-нибудь известным импульсом ей соответствует ВФ $e^{i(-Et+px)/\hbar},$ если забыть, что во-первых, такая волна везде, а во-вторых - соответствует релятивистскому дисперсионному соотношению. Вот прибор определяет её координату, затем частицу предоставляют самой себе - теперь волновая функция в начальный момент пропорциональна соответствующей дельте(т.е. экстремально узкий "волновой пакет" с бесконечно широким спектром). Верно?

[warlock66613]

При идеальном измерении да.

[amon]

Ascold в сообщении #1670746 писал(а):

Вот прибор определяет её координату, затем частицу предоставляют самой себе

Если мы измерили координату в момент времени $t=0$, и она оказалась равной $x=x_0,$ то после измерения волновая функция будет ($\hbar=1$):

$$\Psi(x,t)=\frac{e^{\frac{i(x-x_0)^2}{t}}}{\sqrt{2\pi i t}}$$

[Ascold]

warlock66613 в сообщении #1670748 писал(а):

При идеальном измерении да.

При неидеальном же координата определена не точно, значит, ВФ должна сразу после измерения принять форму волнового пакета или нет?

amon в сообщении #1670750 писал(а):

Если мы измерили координату в момент времени $t=0$, и она оказалась равной $x=x_0,$ то после измерения волновая функция будет ($\hbar=1$):

$$\Psi(x,t)=\frac{e^{\frac{i(x-x_0)^2}{t}}}{\sqrt{2\pi i t}}$$

Можете пояснить или в книгу направить, почему именно так - не соображу, как формулу вывести, а в учебнике читал когда-то про дельта-фукнцию как собственную функцию оператора координаты в координатном представлении?

[amon]

Ascold в сообщении #1670751 писал(а):

Можете пояснить или в книгу направить, почему именно так - не соображу, как формулу вывести

Надо решить уравнение

$$i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\partial^2 \Psi}{\partial^2 x}$$

с начальным условием
$\Psi\rvert_{t=0}=\delta(x-x_0)$
Заодно, проверите. Писал по памяти, в коэффициентах мог провраться.

-- 19.01.2025, 14:45 --

Проще всего, это сделать, произведя преобразование Фурье по координате $x$.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold

(попытка пояснения от экспериментатора)

В релятивистских рассуждениях прибор, пытающийся измерить координату частицы намного точнее, чем её комптоновская длина волны $\hbar /mc,$ - т.е. процесс измерения, локализующий частицу в такой маленькой области $\mathbf{r}$-пространства, - неизбежно передаёт в эту область пространства большую энергию, достаточную для рождения пар частица-античастица. С некоторой вероятностью возникает многочастичная картина, и не получается желаемого точного измерения координат исходной одной частицы.

В нерелятивистской КМ пакет, имеющий при $t=0$ вид дельта-функции $\delta(\mathbf{r}),$ расплывается мгновенно: при $t>0$ решение у. Ш. для свободной частицы в этом случае, как Вам уже сказал уважаемый amon, есть

$$\psi(\mathbf{r},t)=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{3/2}\exp\left( i\frac{\mathbf{r}^2 m}{2\hbar t}\right)$$

Т.е. в нерелятивистской КМ с начальным "экстремально узким пакетом" тоже не получается очевидной для интуиции корпускулярной картины (хотя у этой формулы есть простое квантово-механическое истолкование).

Поэтому, на мой взгляд, для понимания лучше рассматривать не такие абстрактные измерения, а ситуации, близкие к реализующимся на практике. Примеров тут может быть много разных, рассмотрим два.

Пример 1: вместо абстрактного свободно движущегося протона в пустой вселенной пусть речь идёт о движении атомов в кристаллической решётке твёрдого тела. Можно на качественном уровне сказать, что каждый атом колеблется вблизи минимума своей потенциальной ямы, обусловленной взаимодействием с соседями. Вот эта яма и не даёт атому расплыться по всей вселенной. (Для иллюстрации можно численно решить одномерную задачку о движении волнового пакета в бесконечной прямоугольной яме или, ещё лучше, в потенциале гармонического осциллятора, и убедиться, что волновая функция со временем не расплывается всё больше и больше за пределы ямы).

Более аккуратное количественное описание колебаний атомов в гармоническом приближении даётся, как известно, в терминах нормальных координат - их спектр собственных частот это фононный спектр кристалла, а их волновые функции - осцилляторные (т.е. полиномы Эрмита с экспонентами-сомножителями). При конечной температуре возбуждено много нормальных мод, движение каждого атома представляется какой-то сложной суперпозицией колебаний с разными квазиволновыми векторами и частотами из разных ветвей спектра. Подобную суперпозицию в квантовом описании и можно представлять себе как "волновой пакет" атома с центром в узле кристаллической структуры, соответствующем данному атому.

В этом примере практическое "измерение координат атомов" в смысле "определение взаимного расположения узлов данной кристаллической структуры" - это получение и расшифровка дифракционной картины в опытах по упругому рассеянию частиц (рентгеновских фотонов, нейтронов, электронов) на кристалле. На практике именно так люди и узнали о разного вида кристаллических структурах разных веществ и нашли межатомные расстояния в них. С повышением температуры колебания атомов становятся более интенсивными, но чёткость наблюдаемой дифракционной картины не ухудшается, а лишь снижается её контраст (из-за возрастающего вклада неупругого рассеяния с участием фононов). Т.е., при желании можно сказать, что центры атомных волновых пакетов таким образом "измеряются". Мгновенные же значения координат атомов не измеряются.

У этого сюжета есть варианты. Например, примесный атом с массой, заметно отличающейся от масс основных атомов кристаллической решётки совершает собственные локальные колебания; они описываются волновой функцией осциллятора, и её при желании тоже можно понимать как "волновой пакет" атома в данном примере. Другой вариант "атомного волнового пакета": при наличии двух близких минимумов потенциала в кристаллической ячейке для данного атома возможны "туннельные состояния" атома - его волновая функция размазывается по окрестностям минимумов потенциала в ячейке (подобно волновой функции частицы в двухямном потенциале в известной учебной задаче КМ).

Пример 2 - это опыты с расщеплением атомных пучков (как в эксперименте Штерна и Герлаха) или опыты с пучками частиц, оставляющих наблюдаемые треки (следы из капелек) в камере Вильсона или в эмульсионных пластинках и тому подобных "детекторах координат частиц". В этом примере точность "измерения координат" низкая - выясняется только в каком пучке или треке была частица, но нельзя сказать через какую именно точку $\mathbf{r}$-пространства внутри трека частица пролетала.

Пучки и треки достаточно широкие, поскольку следы пучков или сами треки оптически наблюдаемы. Пролетают же частицы в пучке или в треке быстро, если их энергия достаточно большая. В такой ситуации изначально уже широкий пакет просто не успевает сильно расплыться.

Если же частица медленная, то трек выглядит не прямолинейным, а хаотичным. По мере того, как заряженная частица теряет энергию в актах ионизации вещества детектора, трек утолщается, и в конце исчезает. Вот скриншот из учебника по "Атомной физике" А.А. Матышева:



Примеров ещё много разных есть. Например, высоковозбуждённые "ридберговские состояния" электрона в атоме похожи на довольно широкий и длинный волновой пакет, летающий по боровской орбите большого радиуса, образованный суперпозицией волновых функций с большими значениями квантовых чисел.

Мораль такая: движение волнового пакета свободной частицы - полезная учебная задача в КМ, но она не является достаточной для описания разнообразия всей картины, наблюдаемой на практике.

[Ascold]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670766 писал(а):

(попытка пояснения от экспериментатора)

Спасибо! О том, что в реальном мире частица или с чем-то связана, или рано или поздно с чем-то столкнётся, думал, но Вы написали исчерпывающе. Познавательно.

amon в сообщении #1670753 писал(а):

Проще всего, это сделать, произведя преобразование Фурье по координате $x$.

Ага, получил - в одномерном случае, если взять $x_0=0$ и УШ с $\hbar\neq 1$ и вспомнить гауссов интеграл, то у меня вышло

$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}}\exp\left( i\frac{x^2 m}{2\hbar t}\right),$$

интересно, что функция $\psi(x\neq0,t)\to0,$ только если перейти к переменной $it$ и стремить к нулю именно её, а не отдельно $t$: только так мнимость исчезает из рассмотрения, а в экспоненте появляется минус.

[amon]

Ascold в сообщении #1670785 писал(а):

Ага, получил

Отлично! Теперь, полюбовавшись на это чудо, Вы можете лишний раз убедиться, что волновая функция (вектор состояния) - вещь ненаблюдаемая, и считать, что это - что-то вроде слегка размазанной частицы является заблуждением.

[amon]

Ascold,
Вот Вам задачка на смекалку. Что за величина из классической механики стоит в показателе экспоненты после $i$?

[Ascold]

amon, если считать $x=vt,$ всё же частица свободная, то в показателе экспоненты кинетическая энергия, умноженная на время, т.е. действие(делённое на $\hbar$).

amon в сообщении #1670824 писал(а):

Теперь, полюбовавшись на это чудо, Вы можете лишний раз убедиться, что волновая функция (вектор состояния) - вещь ненаблюдаемая, и считать, что это - что-то вроде слегка размазанной частицы является заблуждением.

Это-то да, иллюзий насчёт "размазанной частицы" у меня не было, я по Бому волновые пакеты изучал. Но расплывается же.

[amon]

Ascold в сообщении #1670882 писал(а):

т.е. действие

Угу. Т.е.

$$\Psi(x,t)=f(t)\exp(iS),$$

а тут и до фейнмановских интегралов недалеко ;)

[SergeyGubanov]

Пакет расплывается на бесконечность только потому, что именно такую задачу вы перед собой поставили и решили.

А теперь поставьте и решите другую задачу.

Пусть в точке $x^{\mu}_0$ будет дельта-источник, а в точке $x^{\mu}_1$ пусть будет дельта-поглотитель. В такой постановке задачи у вас "пакет" из $x^{\mu}_0$ испустится, и в $x^{\mu}_1$ поглотится.

Затем рассмотрите задачу когда после поглощения в $x^{\mu}_1$ происходит опять излучение, после чего "пакет" поглощается в точке $x^{\mu}_2$ и так далее:

$$ x^{\mu}_0 \to x^{\mu}_1 \to x^{\mu}_2 \to x^{\mu}_3 \to \ldots $$

Это и есть наблюдаемая траектория "частицы" в камере Вильсона.