Деление с остатком в кольце формальных степенных рядов.

[Mikhail_2000]

Доброго времени суток! Разобрался с базовой теорией евклидовости колец.
Суть вопроса:
Как делить формальные степенные ряды с остатком $\mathbb{K} [[x]]$, где $\mathbb{K}$ - поле?
В интернете утверждается, что функция деления с остатком - номер первого ненулевого члена.
Хорошо
Допустим,
$A(x) = x^4 + x^5 + x^4+\dots$
$B(x) = x^2 + x^4 + x^6+\dots$
Тогда $A(x) = B(x)*D(x) + R(x)$.
$R(x)$, никак не может начинаться с констаны или x. То есть r(x) это как минимум $r_2x^2 + r_3x^3 \dots$.
При этом "высота" $R(x)$ должна быть меньше "высоты" делителя, то есть меньше 2х.

И сразу второй вопрос.
Допустим мы научились делить с остатком. Тогда получаем, что $\mathbb{K} [[x]]$ факториально. У меня 2 версии как выглядит разложение ряда на множители.
1. Любой ряд раскладывается в бесконечно длинное произведение "маленьких скобок"?
2. Вроде бы ряд вида $1 + a_0x + a_1x^2+\dots$ является простым элементом. Соответственно любой ряд представим в виде произведения многочлена на простой ряд? [или ряд = многочлен * (простой ряд)]

[dgwuqtj]

В вашем примере остаток будет нулевым.

Mikhail_2000 в сообщении #1669402 писал(а):

1. Любой ряд раскладывается в бесконечно длинное произведение "маленьких скобок"?

Нет, в разложении на множители по определению конечное количество этих самых сомножителей.

Mikhail_2000 в сообщении #1669402 писал(а):

2. Вроде бы ряд вида $1 + a_0x + a_1x^2+\dots$ является простым элементом.

Этот ряд обратим (как и любой ряд с ненулевым свободным членом, раз уж мы над полем). Вообще при изучении арифметики кольца полезно начать с того, какие в нём обратимые элементы.

[Mikhail_2000]

dgwuqtj писал(а):

Этот ряд обратим (как и любой ряд с ненулевым свободным членом, раз уж мы над полем).

Действительно обратимы ряды вида $\operatorname{const} + a_1x + a_2x^2 \dots$ и только они. Построил явный алгоритм поиска обратного элемента. Причем обратный элемент будет единственным.
Соответственно, дальше если я правильно все понял
$A = dB + r$, to $N(r) = \max(0, N(b) - N(a))$ верно?
$N(f(x))$ - функция деления с остатком.

[dgwuqtj]

Опять же, в вашем примере остаток нулевой, а не с нормой $\max(0, N(B) - N(A)) = 0$. Попробуйте поделить $x$ на $x^3$ с остатком.

[Mikhail_2000]

dgwuqtj в сообщении #1669414 писал(а):

Опять же, в вашем примере остаток нулевой, а не с нормой $\max(0, N(B) - N(A)) = 0$. Попробуйте поделить $x$ на $x^3$ с остатком.

$x = x^3\cdot0 + x$
Я понял, у меня была ошибка.
Исправленная версия.
$A = Bd + r$
$N(a) \geqslant N(b) \Rightarrow r = 0$
$N(a) < N(b) \Rightarrow r = a$

Сейчас следующая мысль. Получается, что в любом идеале $I$ находим минимальный элемент $a$. Пусть $N(a) = k$. Тогда $I = (a) = (x^k \frac{a}{x^k}) = (x^ku) = (x^k)$ т.к. u - обратим.
Получается все идеалы имеют вид $(x^k)$? Это значит, что все идеалы являются простыми.

Так же получается, что разложение любого ряда на множетели это $x^k \cdot u$
Мне этот результат кажется странным. Наверное, потому что я профан в алгебре.

[dgwuqtj]

Теперь всё верно. Просто в кольце $\mathbb K[[x]]$ ровно один простой элемент, так бывает. Их может не быть вообще (в точности в полях), может быть бесконечно много как в $\mathbb Z$ или $\mathbb K[x]$, а может быть любое конечное количество (например, в $\mathbb Z[\frac 1 {p_{n + 1}}, \frac 1 {p_{n + 2}}, \ldots] \subseteq \mathbb Q$ их ровно $n$, где $p_1, p_2, \ldots$ — все простые числа).

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1669421 писал(а):

Их может не быть вообще (в точности в полях)

Это вроде неправда. В $\mathbb R[[X^2, X^3]]$ простых элементов нет, но это не поле.

[Mikhail_2000]

Спасибо большое! Поиск обратимых элементов очень помог. Так бы я еще долго просидел.
Но назревает вопрос: есть ли какой-нибудь резуьтат, дающий разложение рядов именно на множители?
С одной стороны в анализе есть формулы бесконечных произведений (Для синуса, например). И сходимость можно исследовать, логарифмируя.
С другой стороны имея произвольный ряд трудно сказать о том какие у него есть корни.
Какое-нибудь алгебраическое выделение корня группировкой множителей - это скорее везение, чем что-то содержательное.
Да и коэффициенты при раскрытии скобок растут очень быстро - пропорционально функции от количества множителей. Поэтому тут, наверное, идет анализ, чтобы исследовать какие-нибудь пределы.

[dgwuqtj]

Любой ряд вида $1 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots$ можно разложить в виде $(1 - b_1 x) (1 - b_2 x^2) \cdots$, это даже где-то используется (в векторах Витта, например). Только у формальных степенных рядов нет корней в обычном смысле, хотя бы потому что ряды такого вида обратимы.

mihaild в сообщении #1669424 писал(а):

Это вроде неправда. В $\mathbb R[[X^2, X^3]]$ простых элементов нет, но это не поле.

Пожалуй... Я имел в виду евклидовы области, с ними всё проще.