Доброго времени суток! Разобрался с базовой теорией евклидовости колец.
Суть вопроса:
Как делить формальные степенные ряды с остатком
![$\mathbb{K} [[x]]$ $\mathbb{K} [[x]]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/9/239952c5e92293a168837e388f5da91782.png)
, где

- поле?
В интернете утверждается, что функция деления с остатком - номер первого ненулевого члена.
Хорошо
Допустим,


Тогда

.

, никак не может начинаться с констаны или x. То есть r(x) это как минимум

.
При этом "высота"

должна быть меньше "высоты" делителя, то есть меньше 2х.
И сразу второй вопрос.
Допустим мы научились делить с остатком. Тогда получаем, что
![$\mathbb{K} [[x]]$ $\mathbb{K} [[x]]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/9/239952c5e92293a168837e388f5da91782.png)
факториально. У меня 2 версии как выглядит разложение ряда на множители.
1. Любой ряд раскладывается в бесконечно длинное произведение "маленьких скобок"?
2. Вроде бы ряд вида

является простым элементом. Соответственно любой ряд представим в виде произведения многочлена на простой ряд? [или ряд = многочлен * (простой ряд)]