Потенциальные силы

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1668606 писал(а):

И получили довольно таки стандартную историю

И, что Вам известны стандартные примеры механических систем, которые приводят к таким силовым полям?

А про динамику частицы в данном поле, что скажете?

Я обсуждаю только случай

drzewo в сообщении #1668593 писал(а):

$$\boldsymbol F=\frac{y}{x^2+y^2}\boldsymbol e_x-\frac{x}{x^2+y^2}\boldsymbol e_y.$$

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1668610 писал(а):

Просто некоторые люди слишком увлекаются теорфизикой, забыв про обычную физику и воображение

Как по мне, пример не абсолютно бесполезный.
Ибо для более сложных и запутанных случаев воображение не всегда работает, а вроде как "точный", аналитический расчёт даёт ВСЮДУ НОЛЬ!

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1668612 писал(а):

И, что Вам известны стандартные примеры механических систем, которые приводят к таким силовым полям?

Это магнитное поле вокруг цилиндрического проводника с током.
Механические системы с таким силовым полем мне неизвестны.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1668615 писал(а):

Это магнитное поле вокруг цилиндрического проводника с током.

Это электрическое поле в трансформаторе вокруг магнитопровода. Магнитное поле ещё не сила.

[Theoristos]

EUgeneUS в сообщении #1668615 писал(а):

Механические системы с таким силовым полем мне неизвестны

Вращающийся стакан с вязкой жижей, и погруженная в неё тонкая игла.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1668613 писал(а):

ВСЮДУ НОЛЬ!

Всюду кроме одной точки. Вокруг которой всё и вертится.

Просто не надо забывать и про циркуляцию по контуру.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1668620 писал(а):

Всюду кроме одной точки. Вокруг которой всё и вертится.

Ирония как раз в том, что если просто "подставить в формулу" вроде как получается чистый ноль, исус-марие! (с)

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1668622 писал(а):

вроде как получается чистый ноль

Да нет, конечно. Сила в нуле имеет разрыв второго рода, не говоря о производных.

[drzewo]

ну а как таки насчет динамики?

$$\boldsymbol {\ddot r}=\frac{y}{x^2+y^2}\boldsymbol e_x-\frac{x}{x^2+y^2}\boldsymbol e_y$$

[amon]

drzewo в сообщении #1668593 писал(а):

Правильно должно быть:

$$\boldsymbol F=\frac{y}{x^2+y^2}\boldsymbol e_x-\frac{x}{x^2+y^2}\boldsymbol e_y.$$

"Потенциал" для этой штуки -

$$U=-\arctg\frac{y}{x}$$

Вещь известная в электродинамике, называется скалярным магнитным потенциалом прямого провода. Однозначно задана в области с разрезом, таким, что ноль обойти нельзя. Динамика частицы в таком потенциале, наверно, не исследовалась за отсутствием в природе магнитных зарядов. В народном хозяйстве скалярный магнитный потенциал используется для расчета полей магнитов.

[realeugene]

Проще в полярных координатах. Но всё равно нелинейный дифур. Траектория может оказаться замысловатой в зависимости то начальных условий. Впрочем, можно ввести своего рода потенциальную энергию в зависимости от "развёрнутого" угла, посчитав число оборотов и превратив циклическую угловую координату в бесконечную. Не знаю, даст это что-то или нет.

[drzewo]

amon в сообщении #1668631 писал(а):

Однозначно задана в области с разрезом, таким,

И так конфигурационным пространством нашей веселой системы является риманова поверхность логарифма:

$$H=\frac{1}{2}\Big(p_r^2+\frac{p_\varphi^2}{r^2}\Big)+\varphi.$$

Делаем замену переменных:

$$(p_r,r,p_\varphi,\varphi)=(p_r,r,Q,-P):\quad H=\frac{1}{2}\Big(p_r^2+\frac{Q^2}{r^2}\Big)-P$$

А теперь понижаем порядок с помощью интеграла энергии, беря за новое время $\tau=-Q$ и за новый гамильтониан $P$:

$$P=\mathcal H=\frac{1}{2}\Big(p_r^2+\frac{\tau^2}{r^2}\Big).$$

Откуда

$$\frac{d^2 r}{d\tau^2}=\frac{\tau^2}{r^3}$$

-- here is the Emden–Fowler equation

[realeugene]

Осталось добавить траектории, проходящие через нуль.

[amon]

Ловко! Что $U=-\varphi$ я, конечно, догадывался, но до трюка с перестановкой координаты и импульса не догадался.

[Утундрий]

$\ddot x+ i \ddot y=\dfrac {y-i x}{x^2+y^2}=-i \dfrac {x+i y}{x^2+y^2}$
$x+i y=r e^{i \theta}$
$ \ddot x+ i \ddot y=(\ddot r-r {\dot \theta}^2)e^{i \theta}+\dfrac{i}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2 \dot \theta)e^{i \theta}=-i \dfrac {x+i y}{x^2+y^2}=-\dfrac{i}{r}e^{i \theta}$

$$\left\{ {\begin{array}{l} \ddot r=r {\dot \theta}^2 \\ \dfrac{d}{dt}(r^2 \dot \theta)=-1 \\ \end{array} } \right.$$

$\ddot r=\dfrac{(t-t_0)^2}{r^3}, \qquad r^2 \dot \theta=t_0-t.$
P. S. Ничего, что без "высокой теории"?