Действительно ли в математике все определяется и доказываетс

[Черный Евгений]

Уважаемый АД.

1) Если Вы попробуете моделировать этот мир, то придется моделировать именно абстракции, потому что реальность можно только трогать руками, потому что мы не знаем как она устроена. Если Вам интересно попробовать себя в роли творца пространства, то мои сообщения не покажутся Вам такими наивными, Вы ведь тогда столкнетесь с тем, что написанное в учебниках невозможно реализовать. Например, непрерывное пространство. Скорее всего Вам это не интересно, тогда извините пожалуйста, что невольно вызвал Ваше раздражение.

2) Нет ничего, что существовало бы в природе, и что принципиально нельзя было бы повторить на компьютере. Континуум нельзя. А есть ли он в природе?

[AD]

Черный Евгений писал(а):

Если Вам интересно попробовать себя в роли творца пространства, то мои сообщения не покажутся Вам такими наивными, Вы ведь тогда столкнетесь с тем, что написанное в учебниках невозможно реализовать.

Реализовать на чём? Если я, по предположению, всё сам и творю?

Черный Евгений писал(а):

Нет ничего, что существовало бы в природе, и что принципиально нельзя было бы повторить на компьютере. Континуум нельзя.

Не думаю, что континуум на компьютере повторяется менее точно, чем что-либо, существующее в природе. Если не согласны - пожалуйста, дайте критерий точности.

Добавлено спустя 14 минут 23 секунды:

Цитата:

Скорее всего Вам это не интересно

Но, вообще, конечно, не хочется такую муть обсуждать. То есть вы согласились, что математическая формализация есть, но "реализовать ее в каком-то смысле трудно", правильно я вас понял? А вопросы реализации - это уже оффтоп.

[вздымщик Цыпа]

Черный Евгений в сообщении #146262 писал(а):

2) Нет ничего, что существовало бы в природе, и что принципиально нельзя было бы повторить на компьютере. Континуум нельзя. А есть ли он в природе?

Это очень сильное утвеждение. Вам придется точно определить что такое «существует в природе» и что такое «повторение на компьютере», для того, чтобы разговор был предметным.

Вопрос номер раз. На каком компьютере и каким образом Вы видите возможность моделировать:
а) Мировой океан. Вам надо смоделировать поведение всех молекул воды, примесей, с учетом квантовых эффектов. Вы готовы к этой задаче? Опишите, какой компьютер Вам для этого нужен. Или обоснуйте, почему океана не существует в природе.

Вопрос номер два. На каком компьютере и каким образом Вы видите возможность моделировать:
б) Человека. Одного. Пока не будем говорить о миллиардах людей. Надо описать одного человека, со всеми его рефлексами, комплексами, переживаниями, фобиями. Аналогично, какой комп Вам для этого нужен? Герцы-байты в студию, плиз. Или опять же, обоснование несуществования человека.

[Sonic86]

А можно влезть и ответить?
Тут тема смежная была: "Теорема Пифагора и слепые". Там примерно то же самое обсуждалось.
Действительно, можно все определить и научить выводить из определений и аксиом все свойства.
Но речь то - не об этом, а о другом - насколько много времени и сил надо затратить на освоение понятий.
А когда понятие видишь, тогда понимаешь очень быстро, чем когда тебе написали определение.
Например: непрерывная функция. Нарисовали мелом от руки сплошую линию и разрывную - и все.
Я вот на 1 курсе, когда матан был, многие теоремы понимал в картинках - это очень наглядно
(напр., теорема о существовании обратной функции).
У многих людей, кроме введения определений и вывода из них есть другие источники понятий.
Например, абстракция. Именно путем абстрагирования понятия человек может понять свойство непрерывности из рисунка. Как он эту операцию делает - пока неведомо (или ведомо?!).
Вот еще пример. Математики вводят определения. А откуда они их берут? От фонаря все варианты выписывают
и изучают? Нет. Именно путем выделения и абстракции.

[Черный Евгений]

Один оригинал на этом форуме заявил "Пространства нет. Мне достаточно протяженностей от тела до тела". Я также не люблю бесплодных споров. Однако верю в то, что мир постижим и моделируем, причем моделируем своими же элементами. В каком объеме? В мизерно или исчезающе малых, достаточных лишь для того, чтобы сказать "Похоже, что в природе возможна такая модель".
Я работаю над программой-моделью дискретного пространства. Она должна решать две задачи 1) обходиться без линейки - аналога прямой, но при этом уметь строить прямые в любом направлении; 2) обходиться без делений на линейке - меры протяженности, опираясь на свою внутреннюю меру. Насколько Вам известно, природа как-то обходится без линейки с делениями, а геометрия нет.
Когда завершу и увижу, что это не "муть", выложу и возможно продолжим дискуссию.
Знаю только двух сторонников моего подхода.
Бертран Рассел: "Если бы этот мир был кем то придуман, то это невозможно было бы ни опровергнуть, ни подтвердить".
Конрад Цузе: "Мир есть большой компьютер".
Любая компьютерная игра есть свой собственный мир, солдаты которого никогда не смогут понять его первопричину, понять почему правила их жизни такие, а не другие.
Я претендую только на понимание "правил игры", а не мотивов, побудивших кого-то принять такие правила, а не другие.
Спасибо за отклик и справедливую критику.

[6675636b]

Котофеич в сообщении #40411 писал(а):

Само определение формальной системы (например арифметики Пеано), изначально опирается на интуитивное понятие натурального числа, которое уже потом четко формализуется внутри этой системы.

Натуральное число - это множество.
В математике есть только два неопределяемых понятия: "множество" и "определение".

[AGu]

6675636b писал(а):

Натуральное число - это множество.
В математике есть только два неопределяемых понятия: "множество" и "определение".

Что-то мне захотелось (в очередной раз) слегка позанудствовать... (Все нижеследующее -- ИМХО.)

Формальными понятиями (в рамках теории предикатов) я склонен считать либо элементы сигнатуры (они же -- первичные, неопределяемые понятия), либо синтаксические конструкции (как правило, термы или формулы), формально определяемые через первичные понятия.

Если я правильно понял цитату, то под математикой предлагается понимать (классическую) теорию множеств. Тогда единственным первичным понятием в математике будет отношение принадлежности (а в отсутствии аксиомы экстенсиональности еще и отношение равенства).

Термин "множество" является определяемым понятием: если $T$ -- терм, то говорят, что $T$ является множеством, если $(\exists\,x)(x=T)$.

Что же касается термина "определение" (в его обыденном смысле, а не, скажем, в смысле теории конструктивных множеств Гёделя), то, насколько я могу судить, он не является формальным понятием теории множеств, а значит, говорить о его определяемости или неопределяемости не приходится. Впрочем, если разрешается задействовать метаматематику (метатеорию множеств в данном случае), то в ней уже возникает понятие "определения", причем оно имеет вполне адекватное формальное (мета)определение в рамках теории формальных языков.

[6675636b]

AGu в сообщении #166483 писал(а):

Термин "множество" является определяемым понятием: если $T$ -- терм, то говорят, что $T$ является множеством, если $(\exists\,x)(x=T)$.

Ага, а символьное выражение - это некое множество.

А насчет понятия "определение", то его формального определения не может существовать; в отличии, например, от понятия "точки", которое можно определить используя множества.

[AGu]

6675636b писал(а):

AGu в сообщении #166483 писал(а):

Термин "множество" является определяемым понятием: если $T$ -- терм, то говорят, что $T$ является множеством, если $(\exists\,x)(x=T)$.

Ага, а символьное выражение - это некое множество.

Боюсь, что Вы смешиваете теорию и метатеорию. Символьное выражение является множеством в метатеории, а не в теории.

6675636b писал(а):

А насчет понятия "определение", то его формального определения не может существовать; в отличии, например, от понятия "точки", которое можно определить используя множества.

Я предложил свое определение "понятия", согласно которому понятие "определения" не является первичным (а значит, оно определимо, коль скоро является понятием). Если Вы не согласны с моим определением, предложите свое (но только формальное, иначе я не пойму).

P.S. Забавно: определение понятия, понятие определения... Впрочем, понятно, что все эти понятия определенно мало кому понятны по определению. (А вот мне -- понятны. Беее!.. )

[6675636b]

AGu в сообщении #166523 писал(а):

Символьное выражение является множеством в метатеории, а не в теории.

А чем же оно тогда является в "теории" - дайте определение ("но только формальное, иначе я не пойму").

Пусть далее Х - это понятие "определение" (чтобы легче читалось).
Если попытаться определить Х, то нам придется использовать Х еще до того, как мы начнем его определять, т. е. даже рекурсивно Х определить не получится.

[AGu]

6675636b писал(а):

AGu в сообщении #166523 писал(а):

Символьное выражение является множеством в метатеории, а не в теории.

А чем же оно тогда является в "теории" - дайте определение ("но только формальное, иначе я не пойму").

Вы задаете вопрос "чем же оно тогда является в теории", но почему-то просите в ответ "дать определение". Определение чего? Вашего вопроса?

А если серьезно, то Ваш вопрос не имеет смысла. К сожалению, Вы опять пытаетесь смешивать теорию и метатеорию. Бессмысленно говорить о свойствах символьного выражения $(\exists\,x)(x=T)$ в рамках теории множеств, так как оно является объектом метатеории множеств (и в ней оно, естественно, является множеством). Ваш вопрос сродни вопросу о том, чем в компьютерной игре Quake является школьник Вася, играющий в эту игру.

6675636b писал(а):

Пусть далее Х - это понятие "определение" (чтобы легче читалось).
Если попытаться определить Х, то нам придется использовать Х еще до того, как мы начнем его определять, т. е. даже рекурсивно Х определить не получится.

Все получится, если научиться разделять теорию и метатеорию. В рамках метатеории дается метаопределение понятия "определение", а с помощью определений вводятся новые синтаксические конструкции, расширяющие язык теории.

Говорить же о свойствах "определений" в рамках мира теории бессмысленно: они -- объекты иного мира -- мира метатеории, метамира. (Так же и школьник Вася является объектом иного мира, реального, отличного от мира игры Quake, виртуального.)

[6675636b]

AGu в сообщении #166668 писал(а):

А если серьезно, то Ваш вопрос не имеет смысла.

Если он не имеет сысла, то ваши слова:

AGu в сообщении #166523 писал(а):

Символьное выражение является множеством в метатеории, а не в теории.

также не имеют смысла.

AGu в сообщении #166668 писал(а):

К сожалению, Вы опять пытаетесь смешивать теорию и метатеорию.

AGu в сообщении #166668 писал(а):

чем в компьютерной игре...?

Я имел ввиду в общем "математику", а не отдельные теории.

[AGu]

6675636b писал(а):

Я имел ввиду в общем "математику", а не отдельные теории.

Ааа... (Знать бы еще, что это такое -- в общем "математика". Ну да ладно.)
Тогда начавшаяся было наша с Вами полемика быссмысленна. Я ведь сразу написал:

AGu писал(а):

Если я правильно понял цитату, то под математикой предлагается понимать (классическую) теорию множеств.

Сказали бы, что придерживаетесь неформальной позиции, -- я бы даже не начал занудствовать.

[6675636b]

AGu в сообщении #166762 писал(а):

Сказали бы, что придерживаетесь неформальной позиции, -- я бы даже не начал занудствовать.

Почему неформальной?

[AGu]

6675636b писал(а):

AGu в сообщении #166762 писал(а):

Сказали бы, что придерживаетесь неформальной позиции, -- я бы даже не начал занудствовать.

Почему неформальной?

Хмм... Потому что

6675636b писал(а):

Я имел ввиду в общем "математику", а не отдельные теории.

Если Ваш формализм не основан на теориях, то на чем же он основан?