2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение27.12.2024, 12:34 


21/12/16
1418
В этом учебнике рассматривается задача Лагранжа. Постановка задачи на стр 51 здесь:
Ссылка на файл djvu
На стр 53 имеется замечание о том, что сформулированная на стр 52 теорема годится и для систем со связями, зависящими от скоростей.
Контрпример к этому утверждению, как я понимаю, содержится в учебнике Ахизера стр 133
Ссылка на файл djvu

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение27.12.2024, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7265
В книге Гельфанда и Фомина есть некоторая для меня непонятность. Сначала (стр.51, п.2) они вводят задачу с краевыми условиями на функции $y_i$ . Дальше идёт фраза "ограничимся для простоты ... " , после которой идёт постановка задачи, в которой этих условий нет. Дальше (на стр. 52) идёт формулировка теоремы 2, в которой также нет краевых условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение27.12.2024, 16:50 


21/12/16
1418
Полагаю, что краевые условия подразумеваются. А мне еще непонятна формула 18 со стр 52

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение28.12.2024, 03:34 
Заслуженный участник


29/08/13
287
drzewo в сообщении #1667338 писал(а):
Контрпример к этому утверждению, как я понимаю, содержится в учебнике Ахизера стр 133

У Ахизера там "твёрдая" кривая не удовлетворяет связи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение28.12.2024, 03:42 


21/12/16
1418
VanD в сообщении #1667410 писал(а):
У Ахизера там "твёрдая" кривая не удовлетворяет связи.

Хорошо, так замечание на стр 53 у Гельфанда и Фомина верно или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение28.12.2024, 06:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4664
drzewo в сообщении #1667411 писал(а):
Хорошо, так замечание на стр 53 у Гельфанда и Фомина верно или нет?

Правильное условие такое: отображение $$(\delta y, \delta z) \mapsto g_{y}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta y+g_{z}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta z+g_{y'}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta y'+g_{z'}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta z'$$ из множества всех допустимых по граничным условиям вариаций (больше никаких ограничений) в $C([a, b]) $ должно быть сюръективным.

Пример в Ахиезере действительно неправильный какой-то. Опечатка там где-то, может быть. Скорее всего имелось ввиду
$$
z'=z^2+y'^2
$$
Тогда все по тексту правильно становится вроде. Тогда это действительно контрпример. То есть утверждение в Гельфанде-Фомине не верное.
Отображение, которое я писал выше, для исправленного примера Ахиезера на кривой $\bar y(x) =1, \bar z(x) =0$ имеет вид $(\delta y, \delta z) \mapsto \delta z'$, и для закрепленных вариаций не сюрьективно (образом будут непрерывные функции, интеграл от которых по $[a, b]$ равен нулю). А если один конец для $z$ отпустим, то уже будет сюръективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение28.12.2024, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7265
Понял, что вопрос с неголономными связями (в котором сам имею интерес разобраться) непростой. Во-первых, там имеют место быть "твёрдые" экстремали (если это экстремали?) для которых непонятно, есть ли у них допустимая вариация. См. Giaguinta & Hildebrandt "Calculus of Variations" (т.1, п. 2.3). Во-вторых, нужно ещё правильно задать граничные условия, чтобы было хоть одно допустимое решение. В-третьих, возможны случаи, что минимум не достигается. Но если достигается (см. Коша "Вариационное исчисление" (пар. 16.2)), есть соответствующие теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное
Сообщение30.12.2024, 18:23 


21/12/16
1418
мат-ламер в сообщении #1667543 писал(а):
См. Giaguinta & Hildebrandt "Calculus of Variations" (т.1, п. 2.3). Во-вторых, нужно ещё правильно задать граничные условия, чтобы было хоть одно допустимое решение. В-третьих, возможны случаи, что минимум не достигается. Но если достигается (см. Коша "Вариационное исчисление" (пар. 16.2)), есть соответствующие теоремы.

Спасибо, хорошие книжки
Padawan в сообщении #1667415 писал(а):
Скорее всего имелось ввиду
$$
z'=z^2+y'^2
$$

вот! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group