Подозрение на ляпсус в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное

[drzewo]

В этом учебнике рассматривается задача Лагранжа. Постановка задачи на стр 51 здесь:
Ссылка на файл djvu
На стр 53 имеется замечание о том, что сформулированная на стр 52 теорема годится и для систем со связями, зависящими от скоростей.
Контрпример к этому утверждению, как я понимаю, содержится в учебнике Ахизера стр 133
Ссылка на файл djvu

[мат-ламер]

В книге Гельфанда и Фомина есть некоторая для меня непонятность. Сначала (стр.51, п.2) они вводят задачу с краевыми условиями на функции $y_i$ . Дальше идёт фраза "ограничимся для простоты ... " , после которой идёт постановка задачи, в которой этих условий нет. Дальше (на стр. 52) идёт формулировка теоремы 2, в которой также нет краевых условий.

[drzewo]

Полагаю, что краевые условия подразумеваются. А мне еще непонятна формула 18 со стр 52

[VanD]

drzewo в сообщении #1667338 писал(а):

Контрпример к этому утверждению, как я понимаю, содержится в учебнике Ахизера стр 133

У Ахизера там "твёрдая" кривая не удовлетворяет связи.

[drzewo]

VanD в сообщении #1667410 писал(а):

У Ахизера там "твёрдая" кривая не удовлетворяет связи.

Хорошо, так замечание на стр 53 у Гельфанда и Фомина верно или нет?

[Padawan]

drzewo в сообщении #1667411 писал(а):

Хорошо, так замечание на стр 53 у Гельфанда и Фомина верно или нет?

Правильное условие такое: отображение

$$(\delta y, \delta z) \mapsto g_{y}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta y+g_{z}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta z+g_{y'}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta y'+g_{z'}(x, \bar y, \bar z, \bar y', \bar z') \delta z'$$

из множества всех допустимых по граничным условиям вариаций (больше никаких ограничений) в $C([a, b]) $ должно быть сюръективным.

Пример в Ахиезере действительно неправильный какой-то. Опечатка там где-то, может быть. Скорее всего имелось ввиду

$$ z'=z^2+y'^2 $$

Тогда все по тексту правильно становится вроде. Тогда это действительно контрпример. То есть утверждение в Гельфанде-Фомине не верное.
Отображение, которое я писал выше, для исправленного примера Ахиезера на кривой $\bar y(x) =1, \bar z(x) =0$ имеет вид $(\delta y, \delta z) \mapsto \delta z'$, и для закрепленных вариаций не сюрьективно (образом будут непрерывные функции, интеграл от которых по $[a, b]$ равен нулю). А если один конец для $z$ отпустим, то уже будет сюръективно.

[мат-ламер]

Понял, что вопрос с неголономными связями (в котором сам имею интерес разобраться) непростой. Во-первых, там имеют место быть "твёрдые" экстремали (если это экстремали?) для которых непонятно, есть ли у них допустимая вариация. См. Giaguinta & Hildebrandt "Calculus of Variations" (т.1, п. 2.3). Во-вторых, нужно ещё правильно задать граничные условия, чтобы было хоть одно допустимое решение. В-третьих, возможны случаи, что минимум не достигается. Но если достигается (см. Коша "Вариационное исчисление" (пар. 16.2)), есть соответствующие теоремы.

[drzewo]

мат-ламер в сообщении #1667543 писал(а):

См. Giaguinta & Hildebrandt "Calculus of Variations" (т.1, п. 2.3). Во-вторых, нужно ещё правильно задать граничные условия, чтобы было хоть одно допустимое решение. В-третьих, возможны случаи, что минимум не достигается. Но если достигается (см. Коша "Вариационное исчисление" (пар. 16.2)), есть соответствующие теоремы.

Спасибо, хорошие книжки

Padawan в сообщении #1667415 писал(а):

Скорее всего имелось ввиду

$$ z'=z^2+y'^2 $$

вот! :)