Группа Лоренца, как я понимаю, выводится из тех же соображений. У нас есть волновое уравнение

. Ищем группу линейных симметрий
относительно которых это уравнение инвариантно.
Примерно так. Обычно постулируется постоянство скорости света во всех ИСО и сохранение

преобразований для пространственных координат, откуда следует инвариантность поверхности светового конуса

откуда следует инвариантность интервала

откуда, в конце концов, получаются преобразования Лоренца. У нас, как мне кажется, обратная задача. Есть заданные преобразования Галилея

где

- ортогональное преобразование координат. Хочется придумать что-то вроде интервала, из которого бы автоматом следовало это преобразование. Для начала, как и в СТО, можно ограничится "собственными преобразованиями", для которых

При этом, как я понимаю, и как написал
Geen, сохраняются две величины. Одна - та, что Вы написали

а вторая - длина вектора

(пусть пространственная координата пока одна). Я попытался их скомбинировать, но не уверен, что это перспективно. Надо еще подумать.