Основания механики

[drzewo]

Положим $z=(z^1,z^2,z^3,z^4)=(t,x^1,x^2,x^3)$. Ищем $g_{ij}(z),\quad g_{ij}=g_{ji}$. Из-за инвариантности относительно сдвигов $g_{ij}$ не зависит от $z$.
Далее имеется преобразование

$$z\mapsto (z^1,z^2+sz^1,z^3,z^4),\quad s\in\mathbb{R}.$$

Ему отвечает векторное поле

$$v=(0,z^1,0,0)^T.$$

И соответственно производная Ли

$$L_vg_{ij}=v^k\frac{\partial g_{ij}}{\partial z^k}+g_{ik}\frac{\partial v^k}{\partial z^j}+ g_{jk}\frac{\partial v^k}{\partial z^i}=0$$

-- 21.12.2024, 04:20 --

У меня получилось $g_{i2}=0,\quad i=1,2,3,4$.
Теперь в качестве $v$ берем векторное поле

$$(0,0,z^1,0)^T$$

.......

[amon]

Вы своими вопросами спать не даете ;) У меня, на языке родных осин, по образу и подобию СТО, такая фигня пока получилась. Введем плоскость (для простоты - двумерную) $x,t.$ Нарисуем на ней то, что в СТО пафосно называется мировой линией, а в механике - просто траекторией в некой инерциальной системе отсчета (ИСО). Введем для траектории "галилеев интервал" $ds^2=dt^2+dx^2.$ Ясно, что он сохраняется при преобразованиях Галилея, и для траектории можно сосчитать "галилееву длину", которая инвариант. Метрический тензор, стало быть, в исходной ИСО $g=\operatorname{diag}(1,1,1,1).$ Теперь произведем преобразование Галилея

$$\begin{align} x'&=x+Vt\\ t'&=t \end{align}$$

Координатные линии $x=\operatorname{const}$ перейдут в наклонные, а сама траектория, естественно, не поменяется. То есть, преобразования Галилея соответствуют переходу в косоугольную систему координат, в которой $g_{ik}$ становится недиагональным, появляются ко- и контравариантные вектора и все прочие радости СТО. Пока так.

[drzewo]

amon в сообщении #1666382 писал(а):

Введем для траектории "галилеев интервал" $ds^2=dt^2+dx^2.$ Ясно, что он сохраняется при преобразованиях Галилея,

Вот у меня как раз получается что это неверно. У меня получается, что при преобразованиях Галилея сохраняется $ds^2=dt^2$ т.е. $(g_{ij})=\mathrm{diag}\,(1,0,0,0).$ Вырожден метрический тензор.

[Geen]

При преобразованиях Галлилея инвариантными остаются две величины.

[drzewo]

Geen в сообщении #1666401 писал(а):

При преобразованиях Галлилея инвариантными остаются две величины.

это должно противоречить тому, что я написал или что?

-- 21.12.2024, 13:52 --

(Оффтоп)

Группа Лоренца, как я понимаю, выводится из тех же соображений. У нас есть волновое уравнение $u_{tt}=c^2\Delta u$. Ищем группу линейных симметрий

$$z\mapsto Az,\quad z=(t,x^1,x^2,x^3)^T$$

относительно которых это уравнение инвариантно. Это то же самое, что требовать инвариантности тензора $(\tilde g^{ij})=\mathrm{diag}\,(-1,c^2,c^2,c^2)$ или, что то же самое требовать инвариантности тензора
$(\tilde g_{ij})=\mathrm{diag}\,(-1,1/c^2,1/c^2,1/c^2).$
Что бы найти однопараметрические подгруппы группы Лоренца будем искать линейные векторные поля $v=Bz$ из того же уравнения

$$L_v\tilde g_{ij}=0.$$

Эти векторные поля генерируют данные подгруппы.

[amon]

drzewo в сообщении #1666409 писал(а):

Группа Лоренца, как я понимаю, выводится из тех же соображений. У нас есть волновое уравнение $u_{tt}=c^2\Delta u$. Ищем группу линейных симметрий
относительно которых это уравнение инвариантно.

Примерно так. Обычно постулируется постоянство скорости света во всех ИСО и сохранение $O_3$ преобразований для пространственных координат, откуда следует инвариантность поверхности светового конуса $x_0^2-x_i x_i=0,$ откуда следует инвариантность интервала $ds^2=c^2dt^2-dx^2,$ откуда, в конце концов, получаются преобразования Лоренца. У нас, как мне кажется, обратная задача. Есть заданные преобразования Галилея

$$\begin{align} t'&=t\\ \vec x'&=A(\vec x-\vec Vt) \end{align},$$

где $A$ - ортогональное преобразование координат. Хочется придумать что-то вроде интервала, из которого бы автоматом следовало это преобразование. Для начала, как и в СТО, можно ограничится "собственными преобразованиями", для которых $A=1.$ При этом, как я понимаю, и как написал Geen, сохраняются две величины. Одна - та, что Вы написали $ds_1^2=dt^2,$ а вторая - длина вектора $ds_2=dx^2$ (пусть пространственная координата пока одна). Я попытался их скомбинировать, но не уверен, что это перспективно. Надо еще подумать.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: в более подходящий раздел.

[drzewo]

amon в сообщении #1666420 писал(а):

При этом, как я понимаю, и как написал Geen, сохраняются две величины. Одна - та, что Вы написали $ds_1^2=dt^2,$ а вторая - длина вектора $ds_2=dx^2$

Что бы прояснить правильно ли мы друг друга понимаем, задам дурацкий вопрос. А точно форма $dx^2$ сохраняется галилеевым преобразованием?

$$x'=x+Vt\Longrightarrow dx'^2=dx^2+2Vdxdt+V^2dt^2$$

[amon]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1666425 писал(а):

Что бы прояснить правильно ли мы друг друга понимаем, задам дурацкий вопрос.

Чуть позже отвечу, когда освобожусь.

[lel0lel]

Так как иногда интересно получить всё самому, ссылку убираю в оффтоп

(Оффтоп)

группа Галилея

[drzewo]

Я там выше доказал следующую теорему (разумеется, известную и очевидную). И тем самым ответил на свой же вопрос.

Теорема. Предположим, что симметрический тензор $G=(g_{ij}(z))$
на пространстве $z=(t,x^1,x^2,x^3)$ инвариантен относительно группы Галилея. Тогда

$$G=\mathrm{const}\cdot\mathrm{diag}\,(1,0,0,0).$$

Под инвариантностью понимается следующее: если $f$ -- преобразование из группы Галилея, то $f_* G=G.$

Спасибо, всем, кто отвечал на вопросы, коих я не ставил.

-- 21.12.2024, 19:21 --

Для случая $(t,x)\in\mathbb{R}^2$ данная теорема доказана здесь
https://storage4u.ru/file/2024/12/21/ef25fb868bae092faa265d20b80e2eed.pdf

[Someone]

amon в сообщении #1666375 писал(а):

drzewo в сообщении #1666372 писал(а):

метрику в пространстве-времени, инвариантную относительно группы Галилея

Подумать надо. Как-то не задумывался об этом. Стандартное $\operatorname{diag}(1,1,1,1)$ не годится, поскольку позволяет перепутывать время с координатами и не сохраняет длину 3-векторов.

Всё уже украдено до нас.

И. М. Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969.

Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Том 1. "Мир", Москва, 1977.
Глава 12. Теория тяготения Ньютона на языке искривлённого пространства-времени.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1666431 писал(а):

Так как иногда интересно получить всё самому, ссылку убираю в оффтоп

(Оффтоп)

группа Галилея

Плохая статья, кстати.
Что означает фраза <<инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея>> , при том, что тензор $(g_{ij})=\mathrm{diag}\,(1,0,0,0)$ инвариантен относительно группы Галилея, а тензор $(g'_{ij})=\mathrm{diag}\,(0,1,1,1)$ -- нет? Я догадался, но это следовало написать в статье.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1666512 писал(а):

Плохая статья, кстати.

Возможно. Похоже, что это перевод соответствующей статьи с английского.

drzewo в сообщении #1666512 писал(а):

Что означает фраза <<инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея>>

Расстояния между точками в любых системах отсчёта одинаковы при условии, что $\Delta t=\Delta t'=0$

[amon]

drzewo в сообщении #1666425 писал(а):

А точно форма $dx^2$ сохраняется галилеевым преобразованием?

В общем случае не сохраняется. Но при каждом фиксированном $t$ сохраняется, иначе совсем беда с механикой - только время можно задать, а координату - никак. Спасибо Someone, напомнил про MTW ( Мизнер, Торн, Уилер). Там сказано, что естественная структура "носителя" группы Галилея - расслоение с базой $t$ и слоем $\mathbb{R}^n.$