Можно ли вывести одну функцию из другой?

[Verbery]

Всем привет! Прошу совета и может кто-либо сможет что-то подсказать, а то я не специалист в этих вещах.

Я хочу попробовать показать, что полином Бернштейна это более общий случай Inverse distance weighting https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_d ... _weighting. То есть хочу после ряда математических преобразований (или добавок) привести формулу Inverse distance weighting

$$f(x) = \frac{\sum_{i=0}^n \frac{f(i/n)}{\left\|x-i/n\right\|^p}}{\sum_{i=0}^n \frac{1}{\left\|x-i/n\right\|^p}}$$

к виду формулы полинома Бернштейна

$$f(x) = \sum_{i=0}^n f(i/n) \binom{n}{i} x^i (1-x)^{n-i}$$

На промежутке

$$x \in [0, 1]$$

Расчитал на Python разницу между коэффициентами при каждом значении $f(m /n)$ на Python. Думал таким образом посмотреть на сколько вообще эти функции похожи. Взял значение степени $p=1$ и посчитал на разных $x$: $x=[0,1; 0,4; 0,7; 0,99]$. В итоге такие графики получились. Тут на оси Y разница по модулю значений между полиномом Бернштейна и Inverse distance weighting, на оси X значение $m/n$, где $m \in [0, n]$. В итоге видно, что в точках близких к $x$ разница между этими двумя функциями максимум была 0.13 (похоже довольно много), кроме точке $x=0.99$, где почему-то функции сильно разошлись. В точках далеких от $x$ обе функции обычно равны 0.



Вот полный размер графика

Ну и в итоге эксперимент показывает, что функции разные, значит нужно что-то добавить к функции или наоборот убрать. Одно я вывел точно, что при $p=1$ приближение у меня было лучшим, чем при более высоких.

Может кто подскажет адекватно ли вообще поставлен вопрос и можно ли что-то сделать, чтобы показать, что одна функция это более общий случай другой функции? Как в таком случаче поступают математики?

[dgwuqtj]

Вас не смущает, что inverse distance weighting является интерполяцией (то есть в точках $i / n$ эта функция принимает нужные значения), а многочлен Бернштейна — нет?

А ещё inverse distance weighting не многочлен, эта штука стремится к 1 на бесконечности. Я пока вообще не вижу связи между этими двумя конструкциями.

[Verbery]

dgwuqtj в сообщении #1663139 писал(а):

Вас не смущает, что inverse distance weighting является интерполяцией (то есть в точках $i / n$ эта функция принимает нужные значения), а многочлен Бернштейна — нет?

Наверное, это можно решить добавив в знаменатель inverse distance weighting маленькое слагаемое $\varepsilon$ типа так $\| x - i/n + \varepsilon\|$?

[dgwuqtj]

Можно, хотя многочлен от этого не получится. Только тогда inverse distance weighting не будет принимать нужные значения и на концах (в отличие от многочлена Бернштейна), а заодно при совпадении всех значений в узловых точках будет неправильной константой.

Ещё можно сравнить графики, хотя бы в случае $n = 1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$. Многочлен Бернштейна будет просто $f(x) = x$, а inverse distance weighting обычно не гладкая, а когда гладкая — всё равно далека от линейной функции.

[Евгений Машеров]

Я бы начал с того, что тут не может быть не только полинома Бернштейна, но и любого мыслимого полинома. Простейший контрпример - набор отсчётов во всех точках, кроме одной, равен 0, а в одной равен 1. Строим интерполяцию IDW, рисуем график - видим излом. Разрыв производной. А у полинома все производные непрерывны.

[Verbery]

Евгений Машеров в сообщении #1663756 писал(а):

Я бы начал с того, что тут не может быть не только полинома Бернштейна, но и любого мыслимого полинома. Простейший контрпример - набор отсчётов во всех точках, кроме одной, равен 0, а в одной равен 1. Строим интерполяцию IDW, рисуем график - видим излом. Разрыв производной. А у полинома все производные непрерывны.

Это да, но вопрос все же о том, что может можно ли сделать какие-то преобразования/добавки, чтобы превратить одно в другое? В частности тут интересует из IDW в полином Бернштейна

[Евгений Машеров]

Я бы сказал, что задача в принципе неразрешима, но если нам объяснить, зачем это надо - можно было бы подумать, как изменить постановку, чтобы она решалась. Обратные расстояния - совершенно иная идея, непараметрика, и востребованы именно в силу определённых недостатков полиномиальной аппроксимации.

[Verbery]

Евгений Машеров в сообщении #1665088 писал(а):

Я бы сказал, что задача в принципе неразрешима, но если нам объяснить, зачем это надо - можно было бы подумать, как изменить постановку, чтобы она решалась. Обратные расстояния - совершенно иная идея, непараметрика, и востребованы именно в силу определённых недостатков полиномиальной аппроксимации.

Вообще мысль была в том, чтобы вывести из полинома Бернштейна IDW. А зачем? Так как известно, что на $[0,1]$ Бернштейн аппроксимирует любую функцию, то из этого бы автоматически следовало бы, что и IDW делает это

[Евгений Машеров]

Любая непрерывная аппроксимируется многочленом, не обязательно Бернштейна (теорема Вейерштрасса). Но здесь-то не многочлен...